率统计中的矩

概率统计中的矩

在概率统计文献中经常会看到矩，因此本文总结了矩(moment)的基本概念和常用的计算公式。

参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)

1、矩的定义

\[\mu_n=\int_{-\infin}^{\infin}(x-c)^nf(x)dx \]

上式是维基百科中矩的定义式，其中\(x\)和\(c\)是实数，\(f(x)\)是一个连续的实函数，如果\(x\)来自一个概率分布，并且\(f(x)\)是\(x\)的概率密度函数，那么就称上式计算的结果为概率分布的\(n\)阶矩。

2、矩的离散计算公式

实际中一般使用下面的离散形式，根据式中\(c\)取值不同，可以导出原点矩和中心矩的概念。

\[\mu_n=E[(X-c)^n] \]

• 当\(c=0\)时，称为原点矩(raw moment)
  \(\mu_n=E[X^n]\)

• 当\(c=E(X)\)时，称为中心矩(central moment)
  \(\mu_n=E[(X-E(X))^n]\)

另外标准矩(standardised moment，又称为normalised n-th central moment)的定义如下

\[\frac{\mu_n}{\sigma^n} = \frac{E[(X-c)^n]}{\sigma^n} \]

其中\(\sigma=(E[(X-E(X))^2])^{\frac{1}{2}}\)。

3、总结

1. DSP中常用的RMS(均方根值)就是二阶原点矩的正平方根。
2. 方差的正平方根又称标准差(standard deviation)。

矩阶数	原点矩	中心矩	标准矩
一阶	\(E(X)\) 一阶原点矩又称均值	一阶中心矩等于0
二阶	\(E(X^2)\) 二阶原点矩又称均方值	\(E[(X-E(X))^2]\) 二阶中心矩又称方差
三阶			\(\frac{E[(X-c)^3]}{\sigma^3}\) 三阶标准矩又称偏度(skewness)
四阶			\(\frac{E[(X-c)^4]}{\sigma^4}\) 四阶标准矩又称峭度(kurtosis)

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