组合数学—卡特兰数(catalan)的折线法证明

在这里先不谈计算机中栈，二叉树等抽象结构，而把问题更加一般化，以让更多的人了解卡特兰数。

下面思考这么一个问题：有2n(n>=1)个人排成一队进入剧场。入场费5元，其中有n个人每人只有一张5元的钞票，另外n个人每人只有一张10元的钞票，且售票口处无备用钞票。

　　　　　　　　　　　问有多少种排队方式使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

该问题的解就是一个著名的数列：卡特兰数-----C(2n,n)/(n+1)。

可以从该类问题中抽象出这样一种数学模型：

　　　对于一个只含有两种操作(设为操作1，操作2)的问题，问题的解是由这两种操作构成的排列，并且操作1的总数等于操作2的总数，任取前k项(k>=1)，若满足操作1的个数大于等于操作2的个数才是问题的一种解，则问题解的个数就是卡特兰数。如：上述问题中操作1就可以看作有5元钞票的人，操作2看作有10元钞票的人，则只有当任意前k个人(k>=1)中，拿着5元钞票的人数多于或者等于拿着10元钞票的人数的时候，售票处才有5元的钞票找零.这种排队方式的种数为C(2n,n)/(n+1)

卡特兰数的代数递推式让人眼花缭乱，然而用几何解析法却让人有种豁然开朗的感觉，这里就用折线法来证明它：

证：

　　设某个人初始时站在原点，不妨设操作1为此人向右上45°角方向走1步(步长设为根号2)，操作2为向右下45°角方向走1步，此人总共走了2n步,且操作1的次数等于操作2的次数；

　　⑴总的折线种数(人的走法)就是从这2n步中任取n步为操作1，即C(2n,n)；

　　⑵若任取前k(k>=1)次操作满足操作1的个数大于等于操作2的个数，表现在折线图中就是没有跨越x轴，并且最终一定是走到(2n,0)点。此时的折线就是问题的合法解，

如下图所示：

　　

　　⑶若折线有跨越x轴的部分，则不合法。对于任意一条跨越x轴的折线必与y=-1直线相交，取第一次与其相交的点k，将k点右方的折线关于y = -1直线作对称折线(即操作1与操作2对换)，可以发现折线的终点最终都会从点(2n,0)对称到点(2n,-2)，由于对称总是能进行的且是可逆的(一一对应)，所以不合法的折线种数就转化成了下图所示的从(0,0)到(2n,-2)折线的种数，而该种折线代表的操作2的个数比操作1的个数多2次，即操作1有n-1次，操作2有n+1次，所以种数为从这2n次操作中任选n-1次为操作1，即C(2n,n-1)；

 

　　则合法解的种数 = 总的 - 不合法的 = C(2n,n) -  C(2n,n-1) ；

　　不合法的 =  C(2n,n-1) =  (2n)! / ((n+1)! * (n-1)!) = ((2n)! * n) / ((n+1) * n! * n!) = (n / (n+1)) * C(2n,n)；

　　所以合法解的种数(catalan数) =  C(2n,n) -  C(2n,n-1)  =  C(2n,n) - (n / (n+1)) * C(2n,n) =  C(2n,n)/(n+1)。

证毕.

卡特兰数的几个应用：

　　1.以某次序入栈序列的出栈可能性

　　2.n个结点组成不同二叉树的种数问题

　　2.摞盘子与抽盘子同时进行的问题

卡特兰数还有诸多应用，渗透各领域，在这里就不再赘述了。