二分图匹配笔记（一）

1. 二分图

1. 二分图(Bipartite Graph)：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说，把一个图的顶点划分为两个不相交集\(U\)和\(V\)，使得每一条边都分别连接\(U\)、\(V\)中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。下图中图2是一个二分图，图1也是一个二分图，仔细观察会发现，这两个图其实是完全一样的。
   

2. 匹配(Matching)：在图论中，一个“匹配”是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图3、图4中红色的边就是图2的匹配。
   

3. 我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；(1,5)、(4,7)为匹配边，其他边为非匹配边。

4. 最大匹配(Maximum Matching)：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图4是一个最大匹配，它包含4条匹配边。

5. 完美匹配(Perfect Matching)：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图4是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配，但并非每个图都存在完美匹配。

2. 二分图最大匹配 Hungary算法

5. 交错路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交错路。

6. 增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，终点为另一个未匹配点的路径。图5中的一条增广路如图6所示，匹配边和匹配点用红色标出。
   

7. 性质：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了1条。

8. 定理：我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配。匈牙利算法正是这么做的。

9. 匈牙利算法：依次从左边集合的每个点出发DFS寻找增广路，一旦找到，就反转这条路径上的匹配边和未匹配边，并且计数器加一。在对左边集合每个点都处理过一遍后，保证图中不再有增广路。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e3 + 10; 
const int M = 1e3 + 10; 
 
struct Edge 
{ 
    int to, next; 
} edge[M]; 
int adj[N], no; 
int n, m; 
 
void init() 
{
	memset(adj, -1, sizeof(adj));
	no = 0; 
} 
void add(int u, int v) 
{ 
	edge[no].to = v; 
	edge[no].next = adj[u]; 
	adj[u] = no++; 
} 

int left, right;
int match[N];
bool vis[N];
bool dfs(int u)
{
	for (int i = adj[u]; i != -1; i = edge[i].next)
	{
		int v = edge[i].to;
		if (vis[v]) continue;
		vis[v] = true;
		if (match[v] == -1 || dfs(match[v]))
		{
			match[v] = u;
			return true;
		}
	}
	return false;
}

int hungary(int x, int y)
{
	left = x; right = y;
	int ans = 0;
	memset(match, -1, sizeof(match));
	for (int u = 1; u <= left; u++)
	{
		memset(vis, false, sizeof(vis));
		if (dfs(u)) ans++;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	int n, m, e;
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &e);
	init();
	while (e--)
	{
		int u, v;
		scanf("%d%d", &u, &v);
		add(u, v);
	}
	int ans = hungary(n, m);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

Input

第一行给出三个整数\(n\)，\(m\)和\(e\)，分别表示左右集合的大小和边数。
接下来的\(e\)行，每行给出两个整数\(u\)和\(v\)，表示左边集合中的u点与右边集合中的\(v\)点之间有一条边相连。左边集合结点编号从\(1\)到\(n\)，右边集合结点编号从\(1\)到\(m\)。

Output

输出一个整数，表示最大匹配数。

Sample Input

5 4 8
1 1
2 1
2 2
3 3
3 4
4 2
5 1
5 4

Sample Output

4