数学内容琐记

以后会整理的啦, 而且几乎没有啥用处 /qd

burnside 引理

在一个置换群 \(G\) 上考虑, \(G\) 中的每一个元素都作用于一个集合 \(X\) , \(\forall x \in X\) ,存在 \(g(x) = y\)
元素之间的运算为复合 \(f \circ g (x) = f(g(x))\) , 单位元是 \(f(x) = x\) , 逆元是 \(f^{-1}(f(x)) = x\)

定义轨道(轨道这个名词描述的很有趣) \(\text{orbit}(x) = \{ g(x) \mid g \in G \}\) 不难证明轨道构成了一个原群 \(G\) 的一个划分, 那么记 \(\left| G / X \right|\) 为划分后的个数
定义 \(\text{c}(g) = \{ x \mid g(x) = x \}\) 即元素 \(g \in G\) 的不动点数量
定义 \(\text{stab}(x) = \{ g \mid g(x) = x \}\)

引理:

\[\left| \text{orbit}(x) \right| \times \left| \text{stab}(x) \right| = \left| G \right| \]

证明略去了, 思路是证明左边是后边的子集, 右边是左边的子集, 感性理解就是 \(\text{stab}(x)\) 本质上构成了一个子群, 而这个子群在一个轨道上运行, 最终完整的遍历了整个群
有这个之后, burnside 引理是说:

\[\left| G / X \right| = \frac{1}{\left| G \right|} \sum_{g \in G} \text{c}(g) \]

证明略去了, 思路是展开后边这个东西, 然后交换求和号, 再利用上边的引理完成证明

单纯性算法与对偶

单纯性算法流程是, 找到一组基本解, 然后不断进行调整, 正确性利用了凸性
考虑这样一个最基本的问题

\[\max \sum_{j = 1}^m c_j x_j \\ \forall 1 \le i \le n, \sum_{j = 1}^m A_{i, j} x_j \le b_i \\ \forall 1 \le j \le m, x_j \ge 0 \]

它的对偶为

\[\min \sum_{i = 1}^n b_i y_i \\ \forall 1 \le j \le m, \sum_{i = 1}^n A_{i, j} y_i \ge c_j \\ \forall 1 \le i \le n, y_i \ge 0 \]

这两个问题的答案是相同的, 证明不会, 这个可以说明 最大流等于最小割, 最大匹配等于最小点覆盖

单纯性是这样一个算法, 首先引入新的 \(n\) 个变量, 变成一个这个的问题

\[\max \sum_{j = 1}^m c_j x_j \\ \forall 1 \le i \le n, \sum_{j = 1}^m A_{i, j} x_j + x_{m + i} = b_i \\ \forall 1 \le j \le n + m, x_j \ge 0 \]

然后考虑这若干个限制在 \(n\) 维空间内形成了一个封闭的凸包, 那么答案不难发现一定在凸包顶点处
考虑 \(n\) 维空间内, \(n\) 个这样的函数交于一点, 所以一个顶点会满足 \(n\) 个式子恰好取等, 那么把这个 \(n\) 个式子中的 \(x_{m + i}\) 叫做基变量
我们把 \(x_i \ge 0\) 也看成一个函数, 我们每次把一个非基变量换成基变量就认为形成了一次走路, 我们不断在顶点之间切换并且保证每次走都不劣, 我们就一定能走到答案

后边就是推式子了, 具体怎么推这里就不写了, 中途为了保证 \(b_i \ge 0\) 的话, 需要取这个东西的最小值
然后如果一开始 \(b_i < 0\) 的话, 一个方法是引入一个变量 \(x_0\) 让每一个式子都减去 \(x_0\) 仍然是要求 \(x_0 \ge 0\) 然后求解 \(\max -x_0\) 最终如果求出来等于 \(0\) 就是有解

单纯性的本质就是利用了凸性, 解的空间形成了一个凸包, 然后让解的取值不断的在顶点上行走, 保证每一次行走都是优的, 最后一定可以走到最优解处

PGF

两个 PGF

• \(F = \sum_{i = 0} [在i终止的概率] x^i\)

有 \(F(1) = 1, F'(1) = E\)

• \(G = \sum_{i = 0} [在i未终止的概率] x^i\)

有 \(G(1) = F'(1)\)

其实 \(f\) 和 \(g\) 存在一种递推关系为 \(f_{i + 1} + g_{i + 1} = g_{i}\)

所以有 \(xG + 1 = F + G\) 这两个式子揭示了这两者之间的关系, 这两个式子其实等价的, 对于第二个式子求导可以得到第一个式子

做题过程中只需要再找到 \(F\) 和 \(G\) 的另一个递推式就可以解出来 \(G(1)\) 或者 \(F'(1)\) 就是要求的答案

感觉比鞅与停时定理要好