CF2150B Grid Counting 题解

手玩发现条件二和条件三中的条件，等价于如下图所示的每一个块里面恰好出现一个黑色元素。

然后因为\((1,1)\)和\((1,n)\)这个格子必选，所以说我们可以推出来\((2,1),(3,1),...,(n,1),(n,2),(n,3),...,(n,n),(n-1,n),(n-2,n),...,(3,n),(2,n),(1,n)\)这些格子不能填了，因为条件二和条件三的存在。
然后再考虑第\(2\)列和第\(n-1\)列，这两列只有第一行和第二行能涂黑，因为需要满足如上图所示的每个块里面恰好出现一个黑色元素。涂黑之后，那么他们下侧的格子也不能涂黑了，如下图所示。

以此类推，第\(1,n\)列只有上面第一行可涂黑，第\(2,n-1\)列只有上面第一行，第二行可涂黑，第\(3,n-2\)列只有上面第第一行，第二行，第三行可涂黑。

那么也就是说我们需要在可以涂黑的里面选出n个格子涂黑。我们可以从第\(n\)行向第\(1\)行遍历，记录每次可选的格子\(c\)，如果是\(n\)为奇数，那么在第\(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor +1\)行\(+1\)。当在第\(\lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)及其以下的时候，我们每次可选的格子\(+2\)，如果当前的\(a_i>c\)，说明需要选的格子已经超过了我们能选的格子，所以说这个时候无解，如果到第一行的时候\(a_1 \ne c\)，那么也是无解，说明需要选的格子不是\(n\)个。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*



*/
#define ll long long 

const ll mod=998244353;
const int N=2e5+2;

ll fac[N],inv[N];

ll ksm(ll a,ll b,ll mod){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod,b>>=1;
    }
    return res;
}

void init(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[N-1]=ksm(fac[N-1],mod-2,mod);
    for(int i=N-2;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}

ll C(ll n,ll m){
    if(n<m||n<0||m<0) return 0;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}




void sol() {
    ll n;
    cin>>n;
    vector<int> a(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    ll c=0,ans=1;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        // cout<<i<<" "<<c<<'\n';
        if((n&1)&&i==n/2+1) c++;
        if(i<=n/2) c+=2;

        if(i==1&&c!=a[i]){
            cout<<"0\n";    
            return ;
        }else if(a[i]>c){
            cout<<"0\n";
            return ;
        }else{
            ans=ans*C(c,a[i])%mod;
            c-=a[i];
        }
    }
    cout<<ans<<'\n';   
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);


    init();

    int t = 1;
    cin >> t;
    while (t--) {
        sol();
    }
    return 0;
}

总结：正难则反，正向思考解决方案不好做的时候尝试倒序解决