【学习笔记】【多项式】多项式插值相关_个人学习用

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插值知识总览

前置知识：ntt,分治ntt,简单多项式知识

0.8级知识：差分使得未知多项式（系数连续）化为已知线性个组合数。时间，空间\(O(n^2)\)

1级知识：拉格朗日插值：多项式，单点\(O(n^2)\)求值，可线性动态插入维护。若给出的点横坐标连续（等差），可以线性。

2级知识：多项式多点求值

3级知识：多项式快速插值

差分插值：

给出\(f(1),f(2),f(3),...,f(n)\)，求\(f(x)\)

考虑差分之后可以化为一些组合数的和。

\(f(x)=x!\sum\limits_{i=0}^{n}f_i(-1)^ii!\sum\limits_{j=i}^{n}\frac{1}{(x-j)!(j-i)!}\)

拉格朗日插值

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关键式子：

\[l_i(x)=y_i\left(\prod\limits_{j=1,j\neq i}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}\right)=\prod\limits_{j=1}^{n}(x-x_j)\times \frac{1}{x-x_i}\times\frac{y_i}{\prod\limits_{j=1,j\neq i}^{n}(x_i-x_j)} \]

\[L(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}l_i(x) \]

多项式多点求值

多项式快速插值