微积分
虽然我AFO了，但是还是可以更新一下blog的
一、极限计算
1. 常见极限类型
\[e^x, \quad a^x, \quad \ln x
\]
2. 不定式类型（洛必达法则适用）
\[\frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad 0\cdot\infty, \quad \infty-\infty, \quad 1^\infty, \quad 0^0, \quad \infty^0
\]
3. 洛必达法则条件
- \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0} g(x) = 0\ \text{或}\ \infty\)
- \(f(x), g(x)\) 在 \(x_0\)的去心邻域内可导，且 \(g'(x) \neq 0\)
- \(\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\) 存在（或为无穷大）
结论：
\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\]
4. 洛必达法则使用条件转化
\[\begin{cases}
\frac{0}{0} \\
\frac{\infty}{\infty}
\begin{cases}
0\cdot \infty
\begin{cases}
\infty^0 \\
1^\infty\\
0^0
\end{cases} \\
\infty - \infty\\
\end{cases}
\end{cases}
\]
\[0 \cdot \infty = \frac{0}{\frac{1}{\infty}} = \frac{\infty}{\frac{1}{0}}
\]
5. 常见等价极限（小量替换）
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \quad
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1, \quad
\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1
\]
\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1, \quad
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
\]
6. 常用代换
\[f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln{f(x)}}
\]
7.泰勒展开
\[\begin{align*}
% 泰勒展开定义
f(x) &= \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + R_n(x)\\
% 余项公式
R_n(x) &= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1} \quad (\xi \text{介于} x_0 \text{与} x \text{之间}) \\
R_n(x) &= o((x - x_0)^n) \quad (x \to x_0)\\
% 常用函数的麦克劳林展开（x₀=0）
e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots, \quad x \in \mathbb{R}\\
\sin x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots, \quad x \in \mathbb{R}\\
\cos x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots, \quad x \in \mathbb{R}\\
\ln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots, \quad -1 < x \leq 1\\
\frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1\\
(1+x)^\alpha &= \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots, \quad |x| < 1\\
\tan x &= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots, \quad |x| < \frac{\pi}{2}\\
\arctan x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots, \quad |x| \leq 1\\
\arcsin x &= x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \frac{5x^7}{112} + \cdots, \quad |x| < 1\\
\sinh x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots, \quad x \in \mathbb{R}\\
\cosh x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots, \quad x \in \mathbb{R}\\
\end{align*}
\]
8.思路
首先可以考虑将三角函数尽量化为同一个，观察是否符合洛必达的条件，然后考虑一些基本极限或者等价无穷小替换，最后可以使用泰勒展开暴力计算
二、例题详解
例1：复合函数极限
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^{-x}(2x\cos x - 2x + x^3)}{\sin^5 2x}
\]
步骤：
- 用等价无穷小 \(\sin 2x \sim 2x\)
- 逐步化简，多次使用洛必达法则
- 最终得：
\[= \frac{1}{384}
\]
详细步骤：
\[\begin{align*}
&= \lim_{x\to0}{\frac{e^{3x}(2x\cos{x}-2x+x^3)}{\sin^5{2x}}} \\
&= \lim_{x\to0}{e^{3x}} \cdot \lim{\frac{2x\cos{x}-2x+x^3}{\sin^5{2x}}} \cdot \lim_{x\to0}{\frac{\sin^5{2x}}{(2x)^5}}\\
&= \lim_{x\to0}{\frac{2x\cos{x}-2x+x^3}{(2x)^5}}\\
&= \lim_{x\to0}{\frac{2\cos{x}-2+x^2}{32x^4}}\\
&= \lim_{x\to0}{\frac{-2\sin{x}+2x}{128x^3}}\\
&= \lim_{x\to0}{\frac{-\cos{x}+1}{192x^2}}\\
&= \lim_{x\to0}{\frac{\sin{x}}{384x}}=\frac{1}{384}
\end{align*}
\]
例2：幂指型极限
\[\lim_{x \to \infty} \left( x \tan \frac{1}{x} \right)^{x^2}
\]
方法：
令 \(t = \frac{1}{x}\)，化为：
\[\lim_{t \to 0} \left( \frac{\tan t}{t} \right)^{\frac{1}{t^2}}
\]
再化为指数形式，使用泰勒展开或等价无穷小，最终得：
\[e^{\frac{1}{3}}
\]
详细步骤：
\[\begin{align*}
&let \quad t = \frac{1}{x}\\
&=\lim_{t\to0^+}{(\frac{\tan t}{t})^{\frac{1}{t^2}}}\\
\because &\lim_{x\to0^+}{(1+x)^\frac{1}{x}} \\
\therefore &= e^{\lim_{t\to0^+}{(\frac{\tan t}{t}-1)\cdot\frac{1}{t^2}}} \\
&=e^{\lim_{t\to0^+}{\frac{t\tan t-t}{t^2}}} = e^{\frac{1}{3}}
\end{align*}
\]
例3：含可导函数的极限
已知 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 处可导，且 \(f(0)=0\)，求：
\[\lim_{x \to 0} x^{f(x)}
\]
解：
\[x^{f(x)} = e^{f(x)\ln x}
\]
因为 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) ，所以：
\[\begin{align*}
&\because f(x)\in [0,1] differentiable\\
&\therefore \lim_{x\to0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}} exist\\
&\therefore \lim_{x\to0}{\frac{f(x)}{x}} exist
\end{align*}
\]
因此：
\[\lim_{x \to 0^+} x^{f(x)} = e^{\lim_{x\to0^+}{\frac{f(x)}{x}\cdot x\ln x}} = e^0 = 1
\]
例4
求
\[\begin{align*}
\lim_{x\to0} \frac{x \int_{0}^{x} \ln \left( 1+t^{2} \right) dt}{x^{2}- \sin^{2}x}
\end{align*}
\]
解：
\[\begin{align*}
&= \lim_{x\to0}\frac{x}{x+\sin x} \frac{ \int_{0}^{x} \ln \left( 1+t^{2} \right) dt}{x-\sin x}\\
&= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{ \int_{0}^{x}l_{n} \left( 1+t^{2} \right) dt}{x-\sin x}\\
&= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{l_{n} \left( 1+x^{2} \right)}{1- \cos x} \\
&= \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{ \ln \left( 1+x^{2} \right)}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{1- \cos x} \\
&= \frac{1}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1- \cos x}=1
\end{align*}
\]
三、积分
如果一眼没有思路，那么能拆开求的尽量拆开来看，能化简掉次方的也尽量化简
1. 不定积分基本公式
补充：
\[\begin{align*}
&\int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C = \ln |\sec x| + C \\
&\int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \\
&\int \csc x \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C = \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C\\
&\int \sin^2 x \, dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\\
&\int \cos^2 x \, dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\\
&\int \tan^2 x \, dx = \tan x - x + C\\
&\int \cot^2 x \, dx = -\cot x - x + C\\
&\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C\\
&\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C\\
&\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C\\
&\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C\\
&\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{|a|} + C \quad (a>0)\\
&\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C\\
&\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a} + C \quad (a>0)
\end{align*}
\]
2. 基本积分法
(1) 直接积分法
直接使用基本公式。
(2) 换元积分法
- 第一类换元（凑微分）：
\[\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du
\]
- 第二类换元（变量代换）：
常用三角代换：- \(\sqrt{a^2 - x^2} \to x = a\sin t\)
- \(\sqrt{a^2 + x^2} \to x = a\tan t\)
- \(\sqrt{x^2 - a^2} \to x = a\sec t\)
也可以设根式整体为 \(t\) 或把一个函数整体作为 \(x\) 。
(3) 分部积分法
\[\int u dv = uv - \int v du
\]
适用于乘积型函数：
- 多项式 × 指数/三角
- 多项式 × 对数
- 指数 × 三角
3. 特殊积分示例
三角函数积分时候先提一个一次项或者二次项，分部积分得到递推式
例：\(\int \sec^3 x dx\)
解： 使用分部积分，设 \(u = \sec x, dv = \sec^2 x dx\)，最终得：
\[\int \sec^3 x dx = \sec x \tan x + \frac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x| + C
\]
例：\(\int \frac{\sin (\ln x)}{x^3} dx\)
解： 令 \(t = \ln x\)，化为 \(\int \sin t \cdot e^{-2t} dt\)，再用分部积分。
例：\(\int \sqrt{1 - \sqrt{1-x}} dx\)
解： 设 \(\sqrt{1-x} = t\)，再设 \(\sqrt{1-t} = u\)，逐步代换，化为多项式积分。
四、有理函数积分
一般步骤
- 若为假分式，先化为多项式 + 真分式
- 分母因式分解
- 设部分分式：
- 一次因式：\(\frac{A}{ax+b}\)
- 一次重因式：\(\frac{A_1}{ax+b} + \frac{A_2}{(ax+b)^2} + \dots\)
- 二次因式：\(\frac{Ax+B}{px^2+qx+r}\)
- 二次重因式：类似展开
- 比较系数求常数
- 逐项积分（常用公式：\(\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b|\) 等）
五、定积分
1. 基本性质
- 区间可加性
- 积分中值定理
- 不等式性质
2. 对称性与周期性
- 若 \(f(x)\) 为偶函数：
\[\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx
\]
- 若 \(f(x)\) 为奇函数：
\[\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0
\]
3. 含绝对值或分段函数
例如：
\[\int_{0}^{2\pi} |\sin x| dx
\]
需分段积分，根据 \(\sin x\) 的正负性拆分区间。
六、几何
1.弧长公式
$$
L=\int_a^b \sqrt{1+[f′(x)]^2} dx
$$
2.立体几何
\[\begin{align*}
V_{\text{旋转体}} &= \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx \\
S_{\text{锥侧}} &= \pi r l \\
S_{\text{球}} &= 4\pi r^2 \\
S_{\text{柱侧}} &= 2\pi rh \\
S_{\text{旋转面}} &= 2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2} dx
\end{align*}
\]
3.计算方法
垫圈法： 旋转轴与积分变量方向垂直
- 将旋转体切割成一系列与旋转轴垂直的薄片（垫圈）
- 每个垫圈是一个环形区域（外圆面积减去内圆面积）
- 将所有垫圈的体积相加（积分）得到总体积
公式：\(dV = π(R_{outer}^2−R_{inner}^2)\cdot\text{厚度}\)
柱壳法： 旋转轴与积分变量方向平行 - 将旋转体切割成一系列与旋转轴平行的薄柱壳
- 每个柱壳展开是一个长方体薄片
- 将所有柱壳的体积相加（积分）得到总体积
公式：\(dV=2π\cdot\text{半径}\cdot\text{高度}\cdot\text{厚度}\)
七、微分方程
1.一阶线性微分方程：积分因子法
适用方程：形如 \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)。
解题过程：
- 求积分因子：\(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\)
- 方程两边乘以 \(\mu(x)\)，左边化为导数形式：\(\frac{d}{dx}[\mu(x) y] = \mu(x) Q(x)\)
- 两边积分：\(\mu(x) y = \int \mu(x) Q(x) dx + C\)
- 解出 \(y\)
例题：
- 第1题：\(\frac{dy}{dx} = y - x\) 化为 \(\frac{dy}{dx} - y = -x\)，积分因子为 \(e^{-x}\)
- 第2题：\(xy' + 3y = \frac{\sin x}{x^2}\) 化为 \(y' + \frac{3}{x}y = \frac{\sin x}{x^3}\)，积分因子为 \(x^3\)
补充：
此处可以引出伯努利方程：\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n\)
2.二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程法
适用方程：形如 \(y'' + ay' + by = 0\)（或 \(y'' + \omega^2 y = 0\) 等）
解题过程：
- 写出特征方程：\(r^2 + ar + b = 0\)
- 解特征根 \(r_1, r_2\)：
- 实根且不等：\(y = C_1 \cdot e^{r_1 x} + C_2 \cdot e^{r_2 x}\)
- 实根相等：\(y = (C_1 + C_2\cdot x) e^{r x}\)
- 共轭复根 \(\alpha \pm i\beta\)：\(y = e^{\alpha x}(C_1\cdot \cos \beta x + C_2\cdot \sin \beta x)\)
- 若有初值条件，代入确定常数
例题：
- 第3题：特征方程 \(r^2 + 6r + 5 = 0\)，实根 \(r = -1, -5\)
- 第4题：特征方程 \(r^2 + 16 = 0\)，复根 \(r = \pm 4i\)，通解为三角函数形式
3.二阶常系数非齐次线性微分方程：待定系数法
适用方程：形如 \(y'' + ay' + by = f(x)\)，其中 \(f(x)\) 为多项式、指数、正弦余弦及其线性组合
解题过程：
- 求对应齐次方程的通解 \(y_h\)（用特征方程法）
- 根据 \(f(x)\) 的形式设特解 \(y_p\)（注意与 \(y_h\) 的独立性，必要时乘以 \(x\) 或 \(x^2\)）：
- 多项式：设同次多项式
- \(e^{\alpha x}\)：设 \(A e^{\alpha x}\)，若 \(\alpha\) 是特征根则乘以 \(x\)（二重根乘 \(x^2\)）
- \(\sin \beta x\) 或 \(\cos \beta x\)：设 \(A\cos \beta x + B\sin \beta x\)，若 \(\pm i\beta\) 是特征根则乘以 \(x\)
- 组合形式则叠加设置
- 将 \(y_p\) 代入原方程，比较系数确定待定常数
- 通解：\(y = y_h + y_p\)
例题：
- 第5题：\(f(x) = 1 - x^2\)（多项式），设 \(y_p = Ax^2 + Bx + C\)
- 第6题：\(f(x) = 5e^x - \sin(2x)\)，设 \(y_p = Ax e^x + B\cos(2x) + C\sin(2x)\)（其中 \(e^x\) 对应齐次解含 \(e^x\)，故乘以 \(x\)）
4.二阶常系数非齐次线性微分方程：常数变易法（参数变异法）
适用方程：\(y'' + ay' + by = f(x)\)，当 \(f(x)\) 形式复杂（如 \(\tan x, \sec x, \ln x\) 等）时使用
解题过程：
- 求齐次通解 \(y_h = C_1\cdot y_1(x) + C_2\cdot y_2(x)\)
- 设特解 \(y_p = u_1(x) y_1(x) + u_2(x) y_2(x)\)
- 解方程组：\[\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0 \\ u_1' y_1' + u_2' y_2' = f(x) \end{cases} \]求出 \(u_1'\) 和 \(u_2'\)
- 积分得 \(u_1, u_2\)，代入得 \(y_p\)
- 通解：\(y = y_h + y_p\)
例题：
- 第7题（\(y'' + y = \tan x\)）：
- 齐次解：\(y_1 = \cos x, y_2 = \sin x\)
- 设 \(y_p = u_1 \cos x + u_2 \sin x\)，解方程组得：\[u_1' = -\sin x \tan x = -\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \cos x - \sec x \]\[u_2' = \cos x \tan x = \sin x \]
- 积分得 \(u_1, u_2\)，特解 \(y_p = -\cos x \ln|\sec x + \tan x|\)
5.方法总结表
| 题号 | 方程类型 | 方法 |
|---|---|---|
| 1 | 一阶线性 | 积分因子法 |
| 2 | 一阶线性（变系数） | 积分因子法 |
| 3 | 二阶常系数齐次 | 特征方程法 |
| 4 | 二阶常系数齐次（振荡） | 特征方程法 |
| 5 | 二阶常系数非齐次（多项式） | 待定系数法 |
| 6 | 二阶常系数非齐次（指数+三角） | 待定系数法 |
| 7 | 二阶常系数非齐次（\(\tan x\)） | 常数变易法 |
6.例题
第1题 方程：\(\frac{dy}{dx} = y - x\)，\(y(0) = \frac{2}{3}\)
解：化为标准形式 \(\frac{dy}{dx} - y = -x\)，积分因子 \(\mu(x) = e^{-x}\)
\[e^{-x}\frac{dy}{dx} - e^{-x}y = -xe^{-x}
\]
\[\frac{d}{dx}(e^{-x}y) = -xe^{-x}
\]
积分得：
\[e^{-x}y = \int -xe^{-x}dx = (x+1)e^{-x} + C
\]
\[y = x + 1 + Ce^x
\]
代入 \(y(0) = \frac{2}{3}\) 得 \(C = -\frac{1}{3}\)，故特解为：
\[y = x + 1 - \frac{1}{3}e^x
\]
第2题 方程：\(xy' + 3y = \frac{\sin x}{x^2}\)，\(x > 0\)
解：化为标准形式 \(y' + \frac{3}{x}y = \frac{\sin x}{x^3}\)，积分因子 \(\mu(x) = e^{\int \frac{3}{x}dx} = x^3\)
\[x^3y' + 3x^2y = \sin x
\]
\[\frac{d}{dx}(x^3y) = \sin x
\]
积分得：
\[x^3y = -\cos x + C
\]
\[y = \frac{-\cos x + C}{x^3}
\]
第3题 方程：\(y'' + 6y' + 5y = 0\)，\(y(0) = 0\)，\(y'(0) = 3\)
解：特征方程 \(r^2 + 6r + 5 = 0\)，根 \(r = -1, -5\)
通解：\(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-5x}\)
求导：\(y' = -C_1 e^{-x} - 5C_2 e^{-5x}\)
代入初值：
\[\begin{cases}
C_1 + C_2 = 0 \\
-C_1 - 5C_2 = 3
\end{cases}
\]
解得 \(C_1 = \frac{3}{4}, C_2 = -\frac{3}{4}\)，故特解为：
\[y = \frac{3}{4}(e^{-x} - e^{-5x})
\]
第4题 方程：\(y'' + 16y = 0\)，\(y(0) = 2\)，\(y'(0) = -2\)
解：特征方程 \(r^2 + 16 = 0\)，根 \(r = \pm 4i\)
通解：\(y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x)\)
求导：\(y' = -4C_1 \sin(4x) + 4C_2 \cos(4x)\)
代入初值：
\[\begin{cases}
C_1 = 2 \\
4C_2 = -2
\end{cases}
\]
解得 \(C_1 = 2, C_2 = -\frac{1}{2}\)，故特解为：
\[y = 2\cos(4x) - \frac{1}{2}\sin(4x)
\]
第5题 方程：\(y'' - 2y' - 3y = 1 - x^2\)
解：齐次方程特征方程 \(r^2 - 2r - 3 = 0\)，根 \(r = 3, -1\)
齐次通解：\(y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}\)
设特解 \(y_p = Ax^2 + Bx + C\)，代入原方程：
\[2A - 2(2Ax+B) - 3(Ax^2+Bx+C) = 1 - x^2
\]
比较系数得：
\[\begin{cases}
-3A = -1 \\
-4A - 3B = 0 \\
2A - 2B - 3C = 1
\end{cases}
\]
解得 \(A = \frac{1}{3}, B = -\frac{4}{9}, C = \frac{5}{27}\)
通解为：
\[y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x} + \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{9}x + \frac{5}{27}
\]
第6题 方程：\(y'' - y' = 5e^x - \sin(2x)\)
解：齐次方程特征方程 \(r^2 - r = 0\)，根 \(r = 0, 1\)
齐次通解：\(y_h = C_1 + C_2 e^x\)
设特解 \(y_p = Ax e^x + B\cos(2x) + C\sin(2x)\)（注意 \(e^x\) 已出现在齐次解中，故乘以 \(x\)）
代入原方程比较系数得 \(A = 5, B = -\frac{1}{10}, C = \frac{1}{5}\)
通解为：
\[y = C_1 + C_2 e^x + 5x e^x - \frac{1}{10}\cos(2x) + \frac{1}{5}\sin(2x)
\]
第7题 方程：\(y'' + y = \tan x\)
解：齐次方程特征方程 \(r^2 + 1 = 0\)，根 \(r = \pm i\)
齐次通解：\(y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x\)
设 \(y_p = u_1(x)\cos x + u_2(x)\sin x\)
解方程组：
\[\begin{cases}
u_1'\cos x + u_2'\sin x = 0 \\
-u_1'\sin x + u_2'\cos x = \tan x
\end{cases}
\]
解得：
\[u_1' = \frac{\begin{vmatrix}0 & \sin x \\ \tan x & \cos x\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix}} = \frac{-\sin x \tan x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = -\sin x \tan x
\]
\[u_2' = \frac{\begin{vmatrix}\cos x & 0 \\ -\sin x & \tan x\end{vmatrix}}{1} = \cos x \tan x = \sin x
\]
积分得：
\[u_1 = \int -\sin x \tan x dx = \int (-\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x})dx = \int (\cos x - \sec x)dx = \sin x - \ln|\sec x + \tan x|
\]
\[u_2 = \int \sin x dx = -\cos x
\]
特解为：
\[y_p = (\sin x - \ln|\sec x + \tan x|)\cos x + (-\cos x)\sin x = -\cos x \ln|\sec x + \tan x|
\]
通解为：
\[y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \cos x \ln|\sec x + \tan x|
\]
这些方法是解决常微分方程的基本工具，根据方程形式选择合适的方法即可逐步求解。
总结与提示
- 极限：优先考虑等价无穷小、洛必达、泰勒展开
- 积分：先判断类型，选择合适方法（凑微分、换元、分部、有理分式）
- 定积分：注意对称性、周期性、分段处理
- 计算时：注意常数、符号、代换后的积分限调整
梦与现实间挣扎着，所求为何
你可以借走我的文章，但你借不走我的智慧 虽然我是傻逼本文来自博客园，作者：cztq，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/cztq/p/19438238
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