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qoj6662 外环路

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题目描述

在遥远的未来，人类进入了许多外星行星。行星X也是其中之一，太空探索公司MR在行星X上建立了基地，进行探测和资源采集活动。

行星X有连接 \(N\) 个基地和 \(N-1\) 个连接着基地的双向通道，可以使用通道往返任意两个不同的基地。也就是说，行星X的基地和通道形成树形结构。

基地上分别贴着 \(0\) 以上 \(N-1\) 以下的不同编号。另外，对于所有 \(0≤i≤N-2\)， \(i\) 号通道连接 \(U[i]\) 号基地和 \(V[i]\) 号基地，通道长度为 \(W[i]\) km。

不知不觉中，行星X的开发也进入了稳定期。由于维护所有基地和通道费用高昂，MR决定只保留部分基地，禁用其余基地。

对于任何 \((s，e)(0≤s≤e≤N-1)，s，s+1，…，\) 就说只留下 \(e\) 号基地吧。

此时维护成本定义如下：

• 选择0条以上的通道，满足以下条件：这时，选择通道的长度之和最小。（如果选择0条通道，长度之和为0公里。）

  ​ 对于任意 \(u，v (s≤u<v≤e)\)，只能使用选择的通道往返于u号基地和v号基地。中间经过停用的基地是没有关系的。

• 当被选择的偶数通道的长度之和为 \(C\) km时，维护费用为 \(C\)。

因为还没有决定留下什么样的基地，MR首先是所有可能的 \((i，j)(0≤i≤j≤N-1)\)

对于一对 \(i，i+1，…，j\) 我想知道只留下 \(j\) 号基地

大家应该为MR求这个值。但是，由于值可能会变得很大，所以需要求模1000 000 007的余数。

输入规定

大家要实现以下函数。

int maintenance_costs_sum(vector<int> U, vector<int> V, vector<int> W)

• 该函数只被调用一次。
• U、V、W：大小为 \(N-1\) 的整数数组。对于所有\(i(0≤i≤N-2)\)，将\(U[i]\)号基地和\(V[i]\)号基地连接的路为\(W[i]\)km的通道。
• 对于所有可能的\((i，j)(0≤i≤j≤N-1)\)对，此函数为 \(i，i+1，…，\)只留下 \(j\) 号基地时的费用

必须返还费用加起来的值除以1000 000 007的余额。

不能在提交的源代码的任何部分运行I/O函数。

数据规模

• \(2 ≤ N ≤ 250 000\)
• $0 ≤ U[i], V [i] ≤ N − 1; U[i] \neq V [i] (0 ≤ i ≤ N − 2) $
• \(1 ≤ W[i] ≤ 10^9 (0 ≤ i ≤ N − 2)\)

样例格式

以下格式接收输入：

• Line \(1\): \(N\)

• Line \(2 + i (0 ≤ i ≤ N − 2)\): \(U[i] \ V[i] \ W[i]\)

输出以下内容：

•Line \(1\): maintenance_costs_sum返回的值

请注意，样例可能与实际评分中使用的测试点不同

csy 大佬的思路

•首先，没有奇环等价于是二分图。

•也就是我们要给每个点染黑或白，然后删掉所有两个点颜色相同的边。

•对于一个连通块，我们定义其中的“界点”为：有至少一条不在连通块内的边与之相邻的点。

•我们发现这张图中，原树的一棵子树对应的连通块界点个数 <=3。（也就是说树宽<=3）

•而对于一个连通块，我们接下来只关心它界点的状态。

•于是设 f[x][0/1][0/1][0/1] 表示考虑 x 的子树，三个界点分别染什么颜色，连通块内部的最小代价。

•时间复杂度为 O(n)。