数学基础：组合数学

首先是一些基础的数学问题：

（1）排列，P(n,r)=n!/(n-r)!

（2）组合，C(n,r)=C(n,n-r)=n!/(n-r)!r!；C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1)，也可通过递推进行计算，尤其适合需要多次访问组合数的情况，可以预先处理完毕直接调用。

（3）圆排列，P(n,r)/r

（4）可重排列，n^r

（5）可重组合，n中元素每种无限多个，取出r个元素。C(n+r-1,r)，隔板法

（6）不相邻组合，从数字1~n中选出r个不相邻元素，C(n-r+1,r)，隔板法

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鸽巢原理：

若有n个鸽子巢，n+1只鸽子，则至少有一个巢内有至少(向上取整）(n+1)/n=2只

鸽巢原理的主要难点在于分清鸽子和巢，之后进行除运算并向上取整即可。

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容斥原理：

集合S中不含性质P₁，P₂，......，P_n的对象个数：|A₁∪A₂∪......∪A_n|=|S|-∑|A_i|+∑|A_i∩A_j|-∑|A_i∩A_j∩A_k|+......+(-1)^m*|A₁∩A₂∩......∩A_m|

容斥原理可以用于求解任意大小的集合，或者计算复合事件的概率。当m=3，右式有8项；m=4，右式16项。使用容斥原理，需要对单个事件、双个事件、......的概率先计算，再求最后结果。

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斐波那契Fibonacci数：

Fn=F_n-1+F_n-2(n>=2)，F₀=0，F₁=1。

斐波那契数具有性质：1）∑F_i=F_n+2-1      2）∑F_i²=F_n*F_n+1     3）∑i*F_i=n*F_n+2-F_n+3+2      4）任何数都可以表示成若干个斐波那契数之和

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卡特兰Catalan数：

基础模型：有一个长度为2*n的01序列，其中1,0各n个，要求对于任意的整数k∈[1,n]，数列的前k个数中，1的个数不少于0。

卡特兰数的递推关系：C_n=(4*n-2)/(n+1)*C_n-1；封闭解：Cn=C(2n,n)/(n+1)=C(2n,n)-C(2n,n-1)。

卡特兰数主要应用在以下场景：n条边的凸多边形的三角剖分数；n个节点的二叉树个数；n个元素的出栈方案；2n人排队买票，n个100，n个50，可能的排队方案

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错排：

错排是指将[1,n]共n个元素进行排列，使得每一个元素都不在对应位置上的方案数。Dn=(n-1)*(D_n-2+D_n-1)，D₁=0，D₂=1；或者D_n=n*D_n-1+(-1)ⁿ