数学基础：模运算、数位拆解、进制转换与快速求幂

首先对%的特点做一个整理。

1）a%b，a和b都必须为整形变量而不能为浮点数；b不能为0，否则RE

2）a%b=r，r的符号与a一致而与b无关，与数学意义上标准的模运算有区别。具体处理过程是|a|%|b|=|r|，再给r的符号进行处理。为了排除r为负的影响，不妨再加一步：r=(r+b)%b

3）(a+b)%c=(a%c+b%c)%c；(a-b)%c=(a%c-b%c)%c；(a*b)%c=(a%c*b%c)%c；(a^b)%c=(a%c)^b)%c；注意除法没有类似规律，(a/b)%c=(a%c*b^(-1)%c)%c；

更多细节见https://baike.baidu.com/item/取模运算/10739384?fr=aladdin

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接下来是数位拆解，顾名思义，将一个数的各位拆解开来。

while(a!=0){
  int b=a%i;
  a/=i;
}

但是要小心a==0的情况，a=0直接跳过了分解步骤。而且目前得到的结果是倒序。除此之外还有一种方法是把输入的数字看作字符串，直接对字符依次进行处理

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进制转换是围绕十进制来进行的，先转化成十进制再处理。由高位转低位，选择不同的进制进行数位拆解；低位转高位直接各位权*各位值加起来就行

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二分求幂/快速求幂，处理a^b。其思想是将b变为2进制，根据每位是否为1进行累乘，从而快速求解。例洛谷P1226

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long b,p,k;

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&b,&p,&k);
    long long t1=b,t2=p,t3=k;
    long long ans=1;
    while(p!=0){   //坑点，如果p==0会不进行模运算，需要初始化
        if(p%2==1){
            ans*=b;
            ans%=k;
        }
        p/=2;
        b*=b;
        b%=k;
    }
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld\n",t1,t2,t3,ans%k);
    return 0;
}

同样类似思想的，还有快速乘。本质都是为了避免爆出数据范围。