数据结构：树

结点拥有的子树数目称为结点的度
要判断是否是一个链：每个点的度数不超过2
多叉树转化为二叉树/森林转化为二叉树：根节点的第一个子节点作为左节点，其他子节点作为新左节点的右子节点。其他树放到上一棵树根节点右子节点的位置上。

 

二叉树

二叉树的性质：

1）在二叉树的第i层上最多有2^i-1 个节点 （i>=1）

2）二叉树中如果深度为k,那么最多有2^k-1个节点。(k>=1）

3）n₀=n₂+1，n₀表示度数为0的节点数，n₂表示度数为2的节点数。

4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[logn]+1，其中[logn]是向下取整。这也是求具有n个节点二叉树最小深度的方法

满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。有特点：1）叶子结点只能出现在最下层和次下层       2）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树       3）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小

对于完全二叉树，还有额外的性质：(1) 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 [i/2] 的结点为其双亲结点     (2) 若 2*i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2*i 的结点为其左孩子结点      (3) 若 2*i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2*i+1 的结点为其右孩子结点。

需要额外注意的是，通过包括中序排序在内的两种排序，可以唯一确定一棵树。例题洛谷P1030，根据中序后序求前序，涉及到二叉树的主要操作：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string str1,str2;
struct node
{
    node *l,*r;
    char c;
}tree[50];
int len;
void preorder(node *root)
{
    printf("%c",root->c);
    if(root->l!=NULL){
        preorder(root->l);
    }
    if(root->r!=NULL){
        preorder(root->r);
    }
}
node *create(char c)
{
    node *root=&tree[len++];
    root->c=c;
    root->l=root->r=NULL;
    return root;
}
node *build(int s1,int e1,int s2,int e2)
{
    node *root=create(str2[e2]);
    int rootloc=str1.find(str2[e2],s1);
    if(rootloc>s1){
        root->l=build(s1,rootloc-1,s2,s2+rootloc-s1-1);
    }
    if(rootloc<e1){
        root->r=build(rootloc+1,e1,s2+rootloc-s1,e2-1);
    }
    return root;
}

int main()
{
    cin>>str1>>str2;
    node *root=build(0,str1.size()-1,0,str2.size()-1);
    preorder(root);
    printf("\n");
    return 0;
}

还有是二叉排序树。二叉排序树按中序遍历，得到的序列恰好是从小到大的排序。因此不同的数字序列得到的不同二叉排序树，最后的中序可能一样。二叉排序树特殊之处在于构建树的过程中。STL中的set，内核就是基于二叉排序树

 

 无根树，无根树指的是无环联通无向图。任意选取某个点为根，可以将无根树转换为有根树。

 

哈夫曼树

哈夫曼树是一种二叉树，能够使树的带权路径长度和最小。节点的带权路径长度是指节点权值*到根的距离。哈夫曼树可能不唯一，所以大部分问题最后会求最短路径，这种情况下就没有必要构造树的结构，优先队列杠杠的。注意：priority_queue<int>是大顶堆，priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>是小顶堆。但是要求具体的编码，可能需要构建二叉树。

还有拓展，k叉哈夫曼树，一次合并k个。原理是一样的，只不过需要预先处理一下，补足0元素，否则会出现前几层有空余的情况。如果还要求哈夫曼树深度最小，排序时以深度作为第二权值，优先选择深度更深的。例题洛谷P2168