2的幂取模优化
第一种2的幂取模优化
若被除数是正数，只需取低k位的值即可。
eg. 若k取3，则除数为8,被除数为9，则模数为9的低3位，001(2)
可以这样做的原因是第k+1位的值等于2k，也就是说大于等于k+1位的值都大于\(2^k\),他们的取值不影响余数
余数的取值范围为 \([0,2^k-1]\)
若被除数是负数，取低k位的值，还要将k位前的高位补1。
eg. 若k取3，则除数为8,被除数为-9，则模数为-9的低3位，111(2)，将高位补1为\(FFFFFFFF = -1\)
由于余数的取值范围为\([-2^k,-1],当余数为2^k时，其实真正的余数应当为0\)
eg. 若k取3，则除数为8,被除数为-8，则模数为-8的低3位，000(2)，将高位补1为\(FFFFFFF8 = -8\)
那么如何将-2^k，变为0呢，编译器用了一个非常巧妙的办法，就是先减1，再在高位补1，再加1。
eg. 若k取3，则除数为8,被除数为-8，则模数为-8的低3位，000(2)，先减1，得111将高位补1为\(FFFFFFFF\),再加1，得0
其他的余数取值，由于减1加1没有影响高位，所以加减相互抵消，不会影响最终的取值
看看实际的汇编代码
//当eax为-8时，
and eax,80000007 //eax=80000000
//由于eax<0,
执行dec eax //eax = 7FFFFFFF
or eax,FFFFFFF8 //eax = FFFFFFFF
inc eax //eax = 00000000
第二种2的幂取模优化
若被除数是正数，和上面一样
若被除数是负数且余数的取值范围为\((-2^k,-1]\)，取低k位的值，还要将k位前的高位补1即可，关键的地方是当余数为\(-2^k,如何把-2^k变为0\)
与上面不同的是，这里采用的是加7，取低k位，再减7的形式，下面用例子说明为什么这样取余可行
eg. 若k取3，则除数为8,被除数为-9，则模数为-9的低3位，111(2)，加7得110，取低三位得00000006，再减7得FFFFFFFF=-1
上面的例子，-9的低三位为-1，-1+7=6,然后再减7=-1
通过这样的方法巧妙的达到了与取低3位，再高位补1的效果
eg. 若k取3，则除数为8,被除数为-8，则模数为-8的低3位，000(2)，加7得111，取低三位得00000007，再减7得00000000=0
由于当余数为0时，加7减7没有发生溢出，所以不会将高位补1，0就是0
看看实际的汇编代码
//当eax为-8时，
cdq //eax=FFFFFFF8 edx = FFFFFFFF
shr edx,1D //edx = 00000007
add eax,edx //eax = FFFFFFFF
and eax,7 //eax = 00000007
sub eax,edx //eax = 00000000
//当eax为-9时，
cdq //eax=FFFFFFF7 edx = FFFFFFFF
shr edx,1D //edx = 00000007
add eax,edx //eax = FFFFFFFE
and eax,7 //eax = 00000006
sub eax,edx //eax = FFFFFFFF
第三种2的幂取模优化
若被除数是正数，没什么好说的，和上面一样。
若被除数是负数，和之前两种取巧的方式就不一样了，这里用了数学计算,首先将被除数加上\(2^k-1,再取相对于2^k的最大整数，然后再用被除数减取结果，即可得到余数\)
设a为被除数，b为除数，q为商，r为余数
那么关键的地方就是算出qb,
由于在c/c++中，整数除法是向零取整,所以这里的q等于上图的x+1,也就是说\(\frac{a}{b}\)取上整等于q
eg. 若k取3，则除数为8,被除数为-9，加7得FFFFFFFE，取相对于8的最大整数的得FFFFFFF8,用FFFFFFF7 - FFFFFFF8 = FFFFFFFF=-1
看看实际的汇编代码
//当eax为-9时，
sar ecx,1F //ecx = FFFFFFFF
shr ecx,1D //ecx = 00000007
add ecx,eax //eax = FFFFFFFE
and ecx,FFFFFFF8 //ecx = FFFFFFF8
sub eax,edx //eax = FFFFFFFF
