概率总结

概率

前置知识

随机试验

1.不可预知结果;

2.可以预知结果的范围;

3.可以在相同条件下重复进行.

样本空间

随机试验所有结果组成的集合.

事件

样本空间的一个子集.

必然事件 : 样本空间的全集.

不可能事件 : 样本空间的空集.

事件的关系和运算

包含 : $A \subset B$

相等 : 就是相等.

互斥 : $A \cap B = \emptyset$ 是否成立.

补 : 就是补集.

和 : $ A \cup B$

差 : $A - A \cap B$

积 : $A \cap B$

事件的运算律

交换律 : $A \cup B = B \cup A$

结合律 : $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$

分配率 : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$ $A \cap (B\cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

对偶律 : $\overline{A\cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ $ \overline{A\cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

概率

为样本空间的每一个事件定义一个实数，这个实数称为概率。事件𝐵的概率称为𝑃[𝐵]。

概率的一些性质

1.$P(\emptyset) = 0$

2.$0 <= P(A) <= 1$

3.$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

4. 如果$A_1, A_2,...$是两两互不相容的事件, 那么 $P(A_1 \cup \ A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) +...
5. $P(B - A) = P(B) - P(AB)$

条件概率

已知$B$事件发生了, 那么$A$事件发生的概率为$P(A\mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$.

$P(AB) = P(A\mid B)P(B)$

条件概率的性质

1.$P(\emptyset \mid A) = 0$

2.如果$B_1, B_2, ...$两两互不相容, 则$P((B_1 \mid A) \cup (B_2\mid A) \cup ...) = P(B_1\mid A) + P(B_2 \mid A) + ...$

3.$P(\overline{B} \mid A) = 1 - P(B \mid A)$

4.$P((A \cup B) \mid C) = P(A \mid C) + P(B \mid C) - P(AB \mid C)$

贝叶斯公式

设$B_1, B_2, ..., B_n$是样本空间的划分($B_1\cup B_2 \cup ... = A$, $B_i \cap B_j = \emptyset$)

则有 : $P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i)P(B_i)}{\sum P(A\mid B_j) P(B_j)}$

推式子 :

$P(B_iA) = P(AB_i) = P(A \mid B_i)P(B_i)$.

$P(A) = \sum P(AB_j) = \sum P(A\mid B_j) P(B_j)$ (因为$B_1, B_2, ..., B_n$是样本空间的划分)

所以 $P(B_i \mid A) = \frac{P(B_iA)}{P(A)} = \frac{P(A \mid B_i)P(B_i)}{\sum P(A\mid B_j) P(B_j)}$

独立事件

$P(B\mid A) = P(B)$, 则$A, B$为独立事件

question

question 1

箱子里有3个1和1个2, 每次取出一个数不放回, 事件$A$ : 第一次取到1, 事件$B$ : 第二次取到1, 求$P(A\mid B)$.

$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{4} * \frac{2}{3}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}$

question 2

假设有三张形状相同的卡片, 其中一张两面都是黑色, 一张两面都是红色, 一张一面红色一面黑色, 随机取出一张放在桌上, 红色朝上, 那么另一面是黑色的概率是多少.

设事件$B$为红色朝上, 事件$A$为黑色朝下, 那么本题就是求 $P(A \mid B)$.

$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} * \frac{1}{2}}{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{1}{3}$

question 3

$n$个人按任意顺序依次抓阄, 每个人抓完后立即打开, 当某个人抓到"中"时, 整个抓阄过程结束, 问这种抓阄方法是否公平.

公平.

第一个人抓到中的概率 : $\frac{1}{n}$

第二个人抓到中的概率 : $\frac{n - 1}{n} * \frac{1}{n - 1} = \frac{1}{n}$

以此类推, 每个人抓到中的概率都是$\frac{1}{n}$.

question 4

一个人左右口袋各放一盒火柴, 每盒$n$支, 每次用一支, 由于习惯原因, 选右口袋的概率$P > \frac{1}{2}$, 问下列两种情况的概率是否相等.

到某次发现取出的这一盒已经空了, 此时另一盒恰好有$m$支火柴.
到他用完某盒是另一盒恰有$m$支火柴.

概率不相等.

这两种情况差别在于, 第一种情况发现了这一盒已经空了, 第二种情况是还未发现空.

设都是右口袋空了,

第一种情况右口袋取火柴次数为$n + 1$, 左口袋次数为$n - m$, 所以概率为$P^{n + 1} * P^{n - m} * C_{2n - m}^{n}$,

第二种情况右口袋取火柴次数为$n$, 左口袋次数为$n - m$, 所以概率为$P^{n} * P^{n - m} * C_{2n - m - 1}^{n - 1}$,

question 5

小胡站在原点，手里拿着两枚硬币。抛第一枚硬币正面向上的概率为𝑞，第二枚正面向上的概率为𝑟。
小胡开始抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向x轴正方向走一步，直到抛到正面。接下来小胡继续抛第一枚硬币，每次抛到反面小胡就向y轴正方向走一步，直到抛到正面。
现在小胡想回来了，于是他开始抛第二枚硬币，如果小胡抛到正面小胡就向x轴的负方向走一步，否则小胡就向y轴的负方向走一步。
现在小胡想知道他在往回走的时候经过原点的概率是多少呢？

设走到的点是$(x,y)$, 那么走过去的概率应该是这个, $(1 - q) ^x * q * (1 - q)^y * q = (1 - q)^{x +y} * q ^ 2$.再走回来的概率应该是$r ^ x * (1 - r)^ y * C_{x + y}^{x}$

然后我们可以列出 : $ \displaystyle \sum_{x = 0}^{\infty} \sum_{y = 0}^{\infty} (1 - q)^{x + y} * q ^ 2 * r^x * (1 - r) ^ y * C_{x + y} ^ {x}$

令$t = x +y$, $\displaystyle \sum_{t = 0}^{\infty}\sum_{x = 0}^{t} (1 - q)^{t} *q^2 * r^x * (1 - r) ^ {t - x} * C_t^x = \displaystyle \sum_{t = 0}^{\infty}(1 - q)^{t} *q^2 \sum_{x = 0}^{t} C_t^x * r^x * (1 - r) ^ {t - x} $

根据二项式定理, $(x + y) ^ k = \displaystyle \sum_{i = 0} ^ {k} C_k^i * x ^ i * y ^ {k - i}$, 所以$\displaystyle \sum_{x = 0}^{t} C_t^x * r^x * (1 - r) ^ {t - x} = (r +1 - r) ^ t = 1$

所以原式就是 : $\displaystyle \sum_{t = 0}^{\infty}(1 - q)^{t} *q^2 = p$

为啥捏? 令$f = (1 - q) ^ 0 * q ^ 2 + (1 - q)^1*q ^ 2 + (1 - q) ^ 2 * q ^ 2 + ...$

则 $(1 - q) * f = (1 - q) ^ 1 * q ^ 2 + (1 - q) ^ 2 * q ^ 2 + (1 - q) ^ 3 * q ^ 2 + ...$

两式相减得 $(1 - 1 + q) * f = (1 - q) ^ 0 * q ^ 2$, 所以 $f = q$

posted @ 2021-01-09 06:46 C锥阅读(556) 评论(1) 收藏举报

刷新页面返回顶部

C锥