AES 数学 群

群 G

性质：

对于可以在群里进行的操作用 op 表示

封闭性　　　　a op b -> G                             a和b进行操作后的结果 也属于G，op = operation 操作

结合律　　　　(a op b) op c = a op (b op c)

单位元素(ie)　　　　a op e = e op a = a               e为G的单位元素　　存在一个元素e，和任意元素a进行运算，都满足该条件（对op=加法而言，e为0，乘法而言，e为1）

逆元　　　　　　a op b = b op a = e　　　　 b为a的逆元　　　　任意元素a能够再g中找到另一个元素b，符合该条件（对op=加法而言，b=-a,a+(-a)=0,0是加法操作的单位元，乘法而言b=1/a，a*(1/a)=1,1是乘法操作的单位元)

 

举例：

整数集合Z

op = +

封闭性　　2 + 3 = 5     5也属于G

结合律　　2 + 3 + 4 = 2 + (3 + 4)

单位元素　　b=0,  a+0 = 0+a = a

逆元　　　　b=-a，　a+b=b+a   =  a+(-a)=(-a)+a  =  0

 

有限个数：

但如果集合Z 中只有 [-4,4]，这9个元素

那么  4+1 = 5 ，5不属于这个群，所以这不能算作一个群了，因为不满足封闭性

为了满足封闭性，让运算结果不超出集合Z的范围

我们修改 op 从  op = + 为 op = + （mod）

那么  (4+1) mod 4 = 1 。。。。 结果都属于集合Z，那么该 op 和 集合 Z 属于一个群，因为满足了封闭性

（对一个群而言，可以由我们定义的有 1.目标集合，2.op操作 。为了满足群的性质，会调整这2个的定义）

 

上面例子中的Z称作有限群，元素数量称作有限群的阶

那么Z是一个 9阶有限群

 

 

域

组成域的元素要求有性质

加法交换群：op = +  和 ie = 0    （ie是单位元素）

乘法交换群：op = * 和 ie = 1

（XXX交换群，是以op的定义来命名的，如果一个操作op具有求对数操作，且该op和集合s满足群的性质，那么这个群可以叫做 对数交换群吗？）

结合律（这不是分配律吗？）：混合使用加法和乘法时 a * (b + c) = a * b + a * c

 

换句话说，域是指的一个集合，且这个集合同时满足2种op（加法和乘法）的群，且又满足结合律（应该是加法和乘法混合起来的分配律吧？）。

 

举例：

对于满足该性质的集合，我们称作为域

实数集合 R 中的元素满足以上性质，所以R是一个域

因为对于 op=+而言

R满足，封闭性，结合律，单位元素为0 （任意的a+0=0+a=a），逆元为-a  (a+(-a)=(-a)+a=0=单位元素）

对于op=*而言

R满足，封闭性，结合律，单位元素为1 （任意的a，a*1=1*a=a)，逆元为1/a  (a*(1/a)=(1/a)*a=1=单位元素)

并且满足结合律（这不是分配律吗？）

所以R是一个域

 

 

满足域性质的有限集合：

如果存在一个集合，其元素满足上面性质，但是限制其元素数量

n > 0 时, p 为质数

m = p ^ n

那么就存在m阶的域

（如 m=3^2  = 9阶有限域)

另外，当 n = 1 时

素域：m = p  (如 m=7 = 7阶素域）

n >= 2 时

扩展域 ： m = p ^ n 

（如 m=3^2  = 9阶有限扩展域， =9阶扩展域 =扩展域， 也称作 Galois Field，写作 GF(m) , m阶的Galois Field)

AES中会用到GF(m)的概念。

结合上面讲的几个特性   某个m阶的有限集合 1. 满足群的性质 2.满足域的性质 3.是一个有限集合 4.该m阶的域满足 m = p ^ n

 

 

二阶Galois域

GF(2)

= {0,1}

首先看看是否满足加法交换群的性质

封闭性：1+1= 2 ，2超出了集合表示范围, 所以需要特别定义op=+ mod 2 

那么式子变成了 1+1 mod 2 = 0,此时满足封闭性的性质 （ + mod 2，为 异或 （XOR) 操作）

乘法规则也需要特别定义为  op = * mod 2 （ * mod 2，为 与 (AND) 操作）

 

(mod 用 % 符号代替)

加法交换群的性质：

　　单位元素：(a + 0) mod 2 = (0 + a) mod 2 = a   ,  0+0%2=0+0%2=0 ,  1+0%2=0+1%2=1, 所以 0 是单位元素

　　逆元：a+b=0  , b=-a  a+(-a)=0,   当a=0时   0+-0%2=0 ,  当a=1时  1+(-1)%2=0  ，  但若b=1  1+1%2=0 , 此时 不光-1是1的逆元，1也是1的逆元

乘法交换群的性质：

　　单位元素：(a*1) % 2 = (1*a) % 2 = a ,  当a=0时 0*1%2 = 1*0%2 = 0, 当a=1时 1*1%2 = 1*1%2 = 1, 所以 1是单位元素

　　逆元：a*b=0 , b=1/a  a*(1/a)=1 , 当a=1  1*(1/1)%2=1,  1/a 是逆元 ，也说 1的逆元是1

 

所以加法操作中 1的逆元是他自己，乘法操作中1的逆元也是他自己

 

1的加法逆元是他自己 ： b=-a  1的逆元=(-1) ,  1 + 1 mod 2 = 0  ,   那么 1 + (-1) mod 2 = 0   （可以做减法操作）

　　减法：1-1 = 1+（-1）   减1就是加上1的逆元 ，  1 + 1 %2 (加法） 也等于 1+(-1) %2 (减法） ，结果都是0

1的乘法逆元是他自己 ： b=-a  那么  (-1) = - 1, a op b = b op a , = 1 * -1 mod 2 = -1 * 1 mod 2  （可以做除法操作）

　　除法：a/a=a*(-a)  =>   1/1%2=1    从带入逆元的角度思考  a/a=a*(1/a)   除以1就是乘以1的逆元  ,  1*(1/1)%2 = 1      (但是资料中给的是 1/1=1*(-1)=1  ;   这不是写错了吗？ 这里是在讨论乘法交换群，可以把加法交换群里的逆元拿来过吗？ 再说 1*-1=1 吗？ 把mod加上  (1*(-1)) mod 2 = -1 mod 2 = 1 才成立的，不知道是不是资料里没有说明白，或者我理解错了)

在GF(2)里对于1而言 ，加法=减法，减法=加法，乘法=除法，除法=乘法

 

 

GF（2^8)

字节为单位的 加洛瓦域，不用集合的方法表示，而用多项式

b7x^7+b6x^6+b5x^5+b4x^4+b3x^3+b2x^2+b1x^1+b0x^0

 

b0~b7 取值 GF(2) = {0,1}，分别对应一个字节的第0~7位

 

在GF(2^8)中进行两字节相加：

A(x) = b2x^2 = 0x04　　　　　　(x=0x04)

B(x) = b7x^7 + b3x^3 + b2x^2 = 0x8C　　(x=0x8C)

每一个位上按照 GF(2) 的 加法法则进行  op = + mod 2 = 按位异或

A(x) + B(x) =

  0000 0100

+ 1000 1100

--------------

1000 1011

(注意，没有进位这种性质，这里不是相加2个8位二进制数，而是在GF(2^8)域中用加法交换群定义的 加法 = 对每一位进行GF(2)中的加法  op = + mod 2）

=0x8B

写回多项式为

x^7 + x^3 + x^1 + 1

 

在GF(2^8)中进行两字节相乘：

A(x) = b2x^2 = 0x04　　　　　　(x=0x04)

B(x) =  b7x^7 + b3x^3 + b2x^2 = 0x0C　　(x=0x8C)

 

按照代数的计算方式，计算多项式：

A(x) * B(x) = (x^2) * ( b7x^7 + x^3 + x^2)

=x^2 *  x^7  + x^2 * x^3 + x^2 * x^2

=x^9 + x^5 + x^4

mod 2  (将对多项式的系数取模2）

=x^9 + x^5 + x^4

=10 0011 000 = 0x230

但是x^9 超出了 2^8 的集合，

AES 设计了一个 不可约多项式 P(x) 用来做取莫操作，将超出的部分重新绕回到2^8这个有限集合中,以求满足群的封闭性性质。

不可约：P(x)不能表示为 2^8 的集合中  任意2个多项式的乘积，也就是 A(x)*B(x)=P(x) 不会满足。所以P（x）在 2^8 的集合范围内，其表达式具有像质数一样的性质

P(x) 也叫素多项式

P(x) = x^8 + x^4 + x^3 + x + 1

因为最高次为 x^8 ，所以将刚才的结果对 P(x) 取模，那么新的结果一定会回绕到 2^8 的集合内

上一步结果记为 a

那么取模运算为   a - (x * P(x))   (为什么？这看起来一点不像是取模, 为啥用 x * P(x) ? 为啥还用 a 去减 ?）

(x * P(x)) = x * (x^8 + x^4 + x^3 + x + 1)

=x^9 + x^5 + x^4 + x^2 + x

 

　　x^9 + x^5 + x^4

-　　x^9 + x^5 + x^4 + x^2 + x

----------------------------------------

                                     x^2 + x

按每一位计算，规则是GF(2)中的减法，因为GF(2)中的减法=加法

=0x03

 

根据 op = * mod P(x)

若a op b = b op a = e = 1， 那么 b 是 a 的逆元

若在GF(2^8)集合中有 A(x) 和 B(x)

A(x) * B(x) mod P(x) = 1的话，根据逆元的定义 ，此时 B(x) 就为 A(x) 的逆元

所以我们可以根据这个性质，找出给定的任意A(x) 的逆元B(x)。

 

如何在给定A(x)后求到其逆元B(x)?

1.穷举法，遍历2^8 带入 B(x) ，依次计算，找到满足条件的

2.利用生成元的关系查表，任意一个非0多项式，可以写成 (x + 1)^n  (多项式之间用GF(2^8)的加法和乘法，但每一位用GF(2)的加法和乘法)

(x+1)^n 中 n = 0 时 值为1 ，n递增直到n = 254 ,值为 =x^7+x^6+...x^2+x , n=255时 值又为1

x+1 又叫做生成元, 将 (x + 1)^n 中 n 的值和 对应的每一个多项式 存储成一张映射表。

 

对于给定的 A(x) * B(x) 可以转换成生成元的表达方式 (若 B（x） 是 A（x）的逆元那么满足）

= （x+1)^a * (x+1)^b = (x+1)^(a+b) = 1 (mod P(x))

找到A（x）对应的a ，用 255 - a 找到 b ，用b根据映射表找到 B(X) ,就可以在常数时间复杂度内找到 B（x）。

 

主要概念：群，域，GF，生成元

　　　　闭合性，分配律，单位元，逆元；有限群，阶

　　　　加法交换群，乘法交换群，分配律；素域，扩展域

　　　　GF(2)，GF(2^8)

　　　　

 

参考：https://boxueio.com/series/let-us-build-an-apn-provider/episode/562