洛谷P1099 BZOJ1999 树网的核 [搜索，树的直径]

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树网的核

Description

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有n个结点。 路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。 一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离： d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。 树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。 偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即 。 任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们称这个路径为树网T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。 下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B与A-C是两条直径，长度均为20。点W是树网的中心，EF边的长度为5。如果指定s=11，则树网的核为路径DEFG（也可以取为路径DEF），偏心距为8。如果指定s=0（或s=1、s=2），则树网的核为结点F，偏心距为12。

Input

包含n行： 第1行，两个正整数n和s，中间用一个空格隔开。其中n为树网结点的个数，s为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1, 2, ..., n。 从第2行到第n行，每行给出3个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点2与4的边的长度为7。 所给的数据都是正确的，不必检验。

Output

只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

Sample Input

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

Sample Output

5

HINT

对于70%的数据，n<=200000
对于100%的数据：n<=500000, s<2^31, 所有权值<500

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　　分析：

　　这里上的题面是$BZOJ$的，数据是加强版的，洛谷的数据比较水，可以用各种神奇方法暴力搞过去。

　　首先这题的题面是比较迷，要是在考场上看到肯定让人无比懵逼。。。题意就是让你找直径中的一段作为核心，然后求距离核心最远的点的距离，并使这个距离最短。

　　先求出树的直径，然后先考虑最长距离就在直径上的情况，用尺取法做出来，然后我们枚举直径上的每一个点，从该节点开始遍历，如果在遍历的时候遇到直径上的点就跳过，然后就这样比较出最长距离。。。复杂度：能$A$，证明：我$A$了。（好吧，实际上我也不会证明正确性和具体的时间复杂度，照数据看，应该是$O(n)$才对）

　　Code：

//It is made by HolseLee on 19th Aug 2018
//Luogu.org P1099/BZOJ 1999
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#define Min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
using namespace std;

const int N=5e5+7;
int n,s,dis[N],fa[N],head[N],cnt,hh,tt,ans;
bool vis[N];
struct Node{
    int to,val,nxt;
}edge[N<<1];

inline int read()
{
    char ch=getchar();int num=0;bool flag=false;
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')flag=true;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){num=num*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return flag?-num:num;
}

inline int add(int x,int y,int z)
{
    edge[++cnt].to=y;
    edge[cnt].val=z;
    edge[cnt].nxt=head[x];
    head[x]=cnt;
}

inline void dfs(int u)
{
    int v;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].nxt){
        v=edge[i].to;
        if(vis[v]||v==fa[u])continue;
        fa[v]=u;
        dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
        dfs(v);
    }
}

int main()
{
    n=read();s=read();
    memset(head,-1,sizeof(head));
    int x,y,z;
    for(int i=1;i<n;++i){
        x=read();y=read();z=read();
        add(x,y,z);add(y,x,z);
    }
    hh=1,tt=1;
    dis[tt]=0;dfs(tt);
    memset(fa,0,sizeof(fa));
    for(int i=1;i<=n;++i)if(dis[i]>dis[tt])tt=i;
    dis[tt]=0;dfs(tt);
    for(int i=1;i<=n;++i)if(dis[i]>dis[hh])hh=i;
    ans=2e9+1;int j=hh;
    for(int i=hh;i;i=fa[i]){
        while(fa[j]&&dis[i]-dis[fa[j]]<=s)j=fa[j];
        ans=Min(ans,Max(dis[j],dis[hh]-dis[i]));
    }
    for(int i=hh;i;i=fa[i])vis[i]=1;
    for(int i=hh;i;i=fa[i])dis[i]=0,dfs(i);
    for(int i=1;i<=n;++i)ans=Max(ans,dis[i]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}