堆相关

　　堆与堆排序

 

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堆

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　　定义：堆是一颗完全二叉树，且满足子结点不大于父节点或不小于父节点，即小根堆和大根堆。堆的每一棵子树也都是一个堆。

　　下图为一个大根堆。

 

　　基本操作：最基本的操作包括插入（insert），向上调整（up），删除（delete），向下调整（down），查询（quary）。

　　插入insert：

　　给定你一个元素以后将其插入已有的堆中，直接放在堆的末端，再向上调整即可。

　　Code：　　

inline void up(int ka)
{
    while(ka>1)
    {
        if(heap[ka]<heap[ka/2])
        {
            swap(heap[ka],heap[ka/2]);
            ka/=2;
        }
        else break;
    }
}
inline void insert(int x)
{
    heap[++size]=x;
    up(size);
}

 

　　删除delete：

　　一般是将堆顶元素删除，直接将堆末端的元素放到堆顶，再将堆的size--，然后想下调整就可以了。

　　Code：

 

inline void down(int ka)
{
    int s=ka*2;
    while(s<=size)
    {
        if(s<size&&heap[s+1]<heap[s])
        s++;
        if(heap[ka]>heap[s])
        {
            swap(heap[ka],heap[s]);
            ka=s;s=ka*2;
        }
        else break;
    }
}
inline void erase()
{
    heap[1]=heap[size--];
    down(1);
}

 

　　查询quary：

　　直接输出堆顶元素即可，没什么好讲的。

　

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堆排序

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　　部分转载自https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html，转载请注明出处

　　堆排序是利用堆的性质来进行数据排序的排序方法。堆排序属于选择排序，是不稳定的排序，最坏、最好、平均时间复杂度均为O（nlogn）。

 

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了

 

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

　　a.假设给定无序序列结构如下

2.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

4.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

 

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

 

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

 

b.重新调整结构，使其继续满足堆定义

  

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序 

再简单总结下堆排序的基本思路：

　　a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

　　b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

　　c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

 

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几道题（mu）目（ban） 

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Luogu.org P1090 合并果子

Luogu.org P1168 中位数

Luogu.org P2085 最小函数值

Luogu.org P1801 黑匣子