群环域

什么是群环域具体可以看http://sparkandshine.net/algebraic-structure-primer-group-ring-field-vector-space/这篇博文。

1.初等代数 -> 抽象代数

1.1 数 -> 集合

集合在朴素集合论(naive set theory)和公理化集合论(axiomatic set theory)的定义是不一样的，前者指由一些元素组成；后者指具有某种特定性质事物的总体。

1.2 + ->二元运算

加号+被抽象为二元运算*(binary operation)，对两个元素作二元运算，得到的新元素仍然属于该集合，这叫封闭性(closure)。实际上，加减乘除都叫二元运算(二元指的是两个操作数)。

1.3 0/1 单位元

0和1被抽象成单位元(identity elements)，0为加法单位元，1为乘法单位元。单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合时，不改变该元素，即满足a ∗ e = a 与 e ∗ a = a。可见，单位元取决于元素与二元运算，如矩阵的加法单位元是零矩阵，矩阵的乘法单位元是单位矩阵。值得注意的是，有些集合不存在单位元，如正整数集合(the set of positive natural numbers)没有加法单位元(no identity element for addition)。

1.4 负数 -> 逆元素

负数推广到逆元素(inverse element)，对于加法，a的逆元素是-a；对于乘法，a的逆元素是倒数a−1。直观地说，逆元可以撤销操作，如加了一个数a，再加上该数的逆元-a(相当于撤消操作)，结果还是一样。

1.5 结合律

结合律(Associative property)是某些二元运算的性质，有些二元运算没有结合律(如减法、除法、八元数)。

1.6 交换律

交换律(Commutative property)，改变二元运算符两边的元素不影响结果。并不是所有二次元运算都满足交换律(如矩阵的乘法)。

2. Group Like

代数结构(R, *)，二元运算根据封闭性、单位元、逆元、结合律、交换律，可以归纳成不同的群。本节介绍的group-like，从最不严格到严格(依次添加限制条件)，其关系图如下：

维基百科有一张表，给出更详细的group-like间的关系，如下：

2.1 原群

原群(magma)是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即封闭性。

2.2 半群

半群(Semigroup)，满足结合律(associative property)的代数结构。V=<S，* >，其中二元运算是可结合的，即(ab)c=a(b*c)，则称V是半群。

2.3 幺半群

幺半群(monoid)在半群的基础上，还需要满足有一个单位元。

2.4 群

群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：

封闭性：a ∗ b is another element in the set

结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

单位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

逆元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)

如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。

2.5 阿贝尔群(交换群)

阿贝尔群(Abelian Group)在群的基础上，还需满足交换律。如整数集合和加法运算，(Z,+)，是一个阿贝尔群。

交换律：a + b = b + a

2.6 循环群

3. 环论

环在交换群基础上，进一步限制条件。环、交换环、域间的关系如下：

维基百科有一张表从不同角度呈现这三者的关系，如下

3.1 环

环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，
需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下：

3.2 交换环

3.3 整环

整环(integral domain)在交换环的基础上，并满足没有零因子(如此，集合内任意两个元素乘积均不等于0)。

4. 域

域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。