第三章

1. 动态规划法求解步骤分析

1.1 递归方程式、定义及边界条件

· 状态定义：设 dp[i][j] 表示从网格左上角 (1,1) 走到坐标为 (i,j) 的方格时，所需要的最低通行费用。设 cost[i][j] 为题目输入的方格 (i,j) 本身的通行费。
· 最优子结构性质及递归方程式：
要到达格子 (i,j)，商人只能从它的上方 (i-1, j) 向下走一步，或者从它的左侧 (i, j-1) 向右走一步。为了使到达 (i,j) 的总费用最低，需要选择这两条路径中费用较小的那一条，再加上当前格子 (i,j) 的过路费。
因此，递归方程式为：

dp[i][j] = cost[i][j] + \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
]

· 边界条件：
· 起点：dp[1][1] = cost[1][1]。
· 第一行（只能从左边走过来）：dp[1][j] = dp[1][j-1] + cost[1][j] （j > 1）。
· 第一列（只能从上边走下来）：dp[i][1] = dp[i-1][1] + cost[i][1] （i > 1）。

1.2 填表法分析

· 表的维度：二维表。使用一个 N \times N 的二维数组 dp。
· 填表范围：行索引 i 从 1 到 N，列索引 j 从 1 到 N。
· 填表顺序：从上到下，从左到右。因为计算 dp[i][j] 依赖于其上方 dp[i-1][j] 和左侧 dp[i][j-1] 的值，所以必须保证在计算当前格子时，其上方和左侧的格子已经计算完毕。
· 原问题的最优值：最终商人从右下角出网格，所以原问题的最优值是表格右下角的元素，即 dp[N][N]。

1.3 算法的时间和空间复杂度

· 时间复杂度：O(N^2)。算法需要遍历整个 N \times N 的网格，每个格子的状态转移（求最小值并相加）只需常数时间 O(1)。所以总时间复杂度为网格的格子总数。
· 空间复杂度：O(N^2)。需要额外的二维数组来存储每个格子的状态值。（注：如果使用一维数组进行滚动优化，空间复杂度可降至 O(N)，但常规填表法为 O(N^2)）。

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2. 对动态规划算法的理解和体会

动态规划是一种通过“将原问题分解为相似的子问题，并存储子问题的解来避免重复计算”的算法思想。结合本题，我的理解和体会如下：

1. 核心在于“状态定义”与“状态转移”：DP 最难的部分是定义状态（如本题用 dp[i][j] 表示走到某点的最小花费）和找到状态转换关系。只要推导出正确的状态转移方程，问题就迎刃而解了。
2. 最优子结构与无后效性：问题的最优解必须包含子问题的最优解（走到终点的最短路，必定由走到其上方或左侧点的最短路延伸而来）；且当前状态一旦确定，就不受后续决策影响，商人走到 (i,j) 后，前面的路径已经不再重要。
3. 空间换时间的典型代表：通过填表法记录结果，将原本可能需要指数级穷举的路径搜索问题（如DFS），降维成了多项式级复杂度（O(N^2)）。
4. 实际应用广泛：动态规划在路径规划、资源分配、股票买卖以及生物信息学（如序列比对）等领域有极其广泛的应用，是计算机科学中非常重要的算法设计范式。