第二章作业

找第 k 小的数，采用分治法（快速选择算法）：

1. 从数组中随机选一个元素作为基准值 pivot。
2. 遍历数组，把小于 pivot 的放左边，大于 pivot 的放右边，等于的放中间（或统计小于 pivot 的个数）。
3. 设小于 pivot 的元素个数为 cnt：
   · 若 k == cnt + 1，则 pivot 就是第 k 小，直接返回。
   · 若 k <= cnt，说明第 k 小在左半部分，递归处理左边。
   · 若 k > cnt + 1，说明第 k 小在右半部分，递归处理右边，同时 k 减去 cnt + 1。
4. 重复以上过程，直到找到目标。

二、时间复杂度

· 最好情况：每次划分都均匀分成两半，只需递归一边，规模减半。
T(n) = T(n/2) + O(n) → O(n)
· 最坏情况：每次选的 pivot 都是最大或最小元素，划分极不均匀，只能排除一个元素。
T(n) = T(n-1) + O(n) → O(n²)

三、对分治法的体会和思考

分治法的核心是“分而治之”：把大问题拆成规模更小的同类子问题，分别求解后再合并。找第 k 小的数让我体会到，分治不一定非要“两边都递归”——像快速选择这样，每次只递归有解的那一半，就能把平均复杂度降到线性。

同时我也认识到，分治法的效率高度依赖划分是否均衡。快速排序和快速选择最坏都会退化成 O(n²)，所以才要引入随机化 pivot 来避免极端情况。这让我明白：分治法不仅要会“分”，更要设计好的划分策略，否则分治反而会变慢。