算法第三章作业

1. 实践报告
   1.1 根据最优子结构性质列出递归方程式
   1.1.1 状态定义
   设 a[i][j] 表示第 i 行第 j 列方格本身的费用；dp[i][j] 表示从左上角 (1,1) 出发、只允许向右或向下移动，到达方格 (i,j) 时的最小累计通行费（含终点方格自身的费用）。
   由于必须在恰好 2N-1 个单位时间内穿越（即 N-1 次向右、N-1 次向下），任何向上或向左的移动都会使总步数超过 2N-1，因此最优路径中只可能包含向右和向下两种移动。

1.1.2 递归方程式
dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) （i>1 且 j>1）
dp[i][1] = a[i][1] + dp[i-1][1] （第一列，i>1）
dp[1][j] = a[1][j] + dp[1][j-1] （第一行，j>1）

1.1.3 边界条件
dp[1][1] = a[1][1] （左上角为起点）
最优子结构说明：到达 (i,j) 的最优路径，其最后一步必然来自上方 (i-1,j) 或左方(i,j-1)。若某一段不是到达其前驱格子的最优路径，则可用更优的路径替换，得到更小的 dp[i][j]，与原假设矛盾。因此问题满足最优子结构性质，可采用动态规划求解。

1.2 填表法的维度、填表范围和填表顺序
·表的维度：使用一个与网格同规模的 N×N 二维数组 dp 作为状态表。
·填表范围：i∈[1,N]，j∈[1,N]，即表内所有元素都需要计算。
·填表顺序：采用行优先顺序（按行从上到下，每行内部从左到右）填表；因为dp[i][j] 只依赖 dp[i-1][j]（上一行）与 dp[i][j-1]（本行左侧），按该顺序填表时两个依赖项均已算好；也可按对角线顺序填表。
·原问题最优值：原问题的最优值对应状态表右下角元素 dp[N][N]，即从左上角到右下角的最小总通行费。

1.3 时间与空间复杂度分析
·时间复杂度：状态表共有 N×N 个元素，每个元素的计算只进行常数次运算（一次加法和一次取最小值比较），因此时间复杂度为 O(N²)。
·空间复杂度：需要存储完整的 N×N 二维状态表，因此空间复杂度为 O(N²)。
·空间优化：由于 dp[i][j] 只依赖上一行与当前行左侧的元素，可以采用滚动数组只保留两行（甚至一维数组从右向左更新），将空间复杂度降至 O(N)，时间复杂度保持不变。

2. 你对动态规划算法的理解和体会
   动态规划的核心思想是利用最优子结构、重叠子问题与无后效性，把一个大问题拆解成规模更小的子问题，并保存子问题的答案以避免重复计算，从而用多项式时间解决原本需要指数级枚举的问题。
   通过本题的分析，我体会到：第一，最优子结构是使用动态规划的前提，只有“大问题的最优解包含子问题最优解”时，递推关系才成立；本题中到达任意格子的最小费用，一定建立在到达其上方或左方格子的最小费用之上。第二，重叠子问题是动态规划相对暴力搜索的优势所在，不同路径会反复访问同一个格子，填表法把每次结果记录下来，只计算一次。第三，无后效性保证了递推的可行：一旦算出到达 (i,j) 的最小费用，后续决策只依赖这个数值，而不关心具体是怎么走过来的，因此可以按确定顺序自底向上填表。
   动态规划的解题流程通常是：分析最优子结构 → 定义状态并写出递推方程 → 确定边界条件 → 设计填表顺序 → 填表求解。这一套方法不仅适用于网格路径问题，也广泛适用于背包、最长公共子序列、区间合并、树形与状态机等问题。掌握好状态设计和递推方程的推导，是写出高效动态规划程序的关键。