算法第二章实践作业

（1）分治法：找第 k 小的数
自然语言描述：
1.选取一个基准元素pivot，调用划分函数把数组分为两部分：左区间全部≤pivot，右区间全部≥pivot，得到基准所在下标。
2.统计左区间元素数量cnt：
·如果cnt == k，基准就是第 k 小元素，直接返回；
·如果k < cnt，说明第 k 小在左边子数组，递归在左区间查找第 k 小；
·如果k > cnt，说明第 k 小在右边子数组，递归在右区间查找第k-cnt小；
3.递归直到区间只有一个元素，直接返回。
核心思想：不需要对整个数组排序，每次只递归其中一侧子区间，减少计算量。

（2）时间复杂度分析
·最好时间复杂度：O(n)
每次划分，基准都刚好把数组大致对半分开。第一次处理 n 个元素，第二次 n/2，第三次 n/4…… 总和：n+2n​+4n​+⋯≈2n=O(n)
·最坏时间复杂度：O(n^2)
每次选的 pivot 都是当前区间的最大值 / 最小值，划分后一侧只有 1 个元素，另一侧剩下n−1个元素。递归总工作量 n+(n−1)+(n−2)+⋯=O(n^2)。

（3）对分治法的体会和思考
分治法核心思想：分、治、合。把一个规模大的原问题，拆成若干规模更小的同类型子问题；递归求解子问题；最后合并子问题结果得到原问题答案。
1.适用场景：问题可以分解、子问题相互独立、子问题解可以合并。比如快速排序、归并排序、快速选择找第k小。
2.优势：把复杂大问题简化，利用递归，逻辑清晰；很多场景相比暴力枚举大幅降低时间复杂度。例如找第 k 小，如果直接排序是O(nlogn)，分治快速选择期望O(n)。
3.局限性：
·不是所有问题适合分治，子问题重叠时（如钢条切割），分治会大量重复计算，此时动态规划更合适；
·分治存在递归调用的栈开销；部分分治算法受 pivot 选择影响，存在最坏情况（如QuickSelect 最坏O(n^2)）；
4.对比：分治法的子问题一般互不重叠；动态规划子问题大量重叠，会保存子问题结果避免重复计算。