动态规划

最低通行费 动态规划实践报告

1.1 递归方程、定义、边界条件

状态定义

设 (dp[i][j])：走到网格第 i 行、第 j 列方格时，所需的最小通行总费用。
(a[i][j])：方格 ((i,j)) 本身的费用。

递归方程（状态转移方程）

(dp[i][j] = a[i][j] + \min
\begin{cases}
dp[i-1][j] \quad \text{从上方格子走下来}\
dp[i][j-1] \quad \text{从左方格子走过来}
\end{cases})>

含义：到达 ((i,j)) 的最小费用 = 当前格子费用 + 上方、左边两个方案里费用更小的那一个。

边界条件

1. 起点：(dp[1][1] = a[1][1])，左上角就是起点，费用就是格子本身费用。
2. 第一行（(i=1,j>1)）：上面没有格子，只能从左边过来

(dp[1][j] = dp[1][j-1] + a[1][j])
3. 第一列（(j=1,i>1)）：左边没有格子，只能从上面下来

(dp[i][1] = dp[i-1][1] + a[i][1])

最优子结构说明：
到达 ((i,j)) 的最优路径，它到达前一步（上方或者左方）的路径一定也是最优的。如果前一步有更便宜的走法，替换之后就能得到更优解，矛盾。满足最优子结构；同时子问题会重复使用，适合动态规划。

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1.2 填表：维度、填表范围、填表顺序、答案位置

1. 表的维度：二维数组 (dp[N+1][N+1])（下标从 1 开始，方便处理边界，避开 0 下标判断），和网格大小一致。
2. 填表范围：i 从 (1\sim N)，j 从 (1\sim N)
3. 填表顺序：
   • 先填边界：第一行从左往右；第一列从上往下
   • 然后按行优先顺序（从上到下，每行内部从左到右）填充内部格子。
     理由：计算 (dp[i][j]) 需要 (dp[i-1][j])（上一行，已经算好）、(dp[i][j-1])（本行左边，已经算好）。
4. 原问题最优值：(\boldsymbol{dp[N][N]})，也就是右下角单元格的值。

样例 N=5，最终答案就是 (dp[5][5]=109)，和题目输出一致。

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1.3 时间复杂度 & 空间复杂度

• 时间复杂度 (O(N^2))
  一共 (N\times N) 个状态，每个状态只做一次 min 比较和加法，常数时间。
• 空间复杂度 (O(N^2))
  开了大小为 (N\times N) 的 dp 二维数组；

对动态规划算法的理解和体会

动态规划核心是拆分问题、利用最优子结构、记录子问题答案避免重复计算，和暴力搜索完全不一样：

1. 暴力 DFS 会枚举所有路径，大量重复计算相同位置的路径开销，N 稍大就超时；DP 把每个位置的最优解存下来，每个子问题只算一次。
2. 使用 DP 有两个前提：最优子结构 + 无后效性。
   • 最优子结构：全局最优由局部最优构成；
   • 无后效性：(dp[i][j]) 的值一旦确定，后面的计算只依赖这个值，不再关心它是怎么走过来的。
3. 这道题很有代表性：题目给的时间限制不是多余条件，它直接限制移动方向，把 “四向搜索” 简化成 “只能右、下”，降低难度。审题时要挖掘这种隐藏约束，才能写出正确转移方程。
4. DP 做题套路一般固定：
   ① 定义 dp 状态；② 找状态转移方程；③ 确定边界；④ 确定填表顺序；⑤ 找到最终答案位置。
5. 同时也要注意：DP 不是万能的，如果不满足最优子结构就不能用；有时候还可以做空间优化，压缩二维 dp 到一维，节省内存。