题解：P14231 复读机 / repeat

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2024 NOIP 联考供题，数据范围略有加强。

题意

给你一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_{1\dots n}\)。

接下来有 \(q\) 次查询，每次给出一个区间 \([l,r]\) 和 \(k\)，你需要在区间中选择一个长为 \(k\) 的子序列，最小化相邻两项的和的最大值。

\(n,q\le 3\times10^5\)。

题解

对于一个数 \(v\)，取出最长的相邻两项和 \(\le v\) 的子序列，如果其长度 \(\ge k\) 那么答案就 \(\le v\)。

我们把 \(2a_i\le v\) 的数称为「小数」，反之称之为「大数」。小数必定可连选，大数必定不可连选。

最优情况必定为小数全选，对于每相邻两个小数，如果它们之间最小的大数可选就选上。

那么我们按值域从小到大做扫描线，每次会将一些大数切换为小数。注意到相邻的小数之间显然均为大数，所以可以求出若干四元组 \((i,j,l,r)\) 表示在 \(v\in [l,r]\) 时 \(i,j\) 为相邻小数且对答案有 \(1\) 的贡献。差分为对 \(v\ge l\) 的单点加矩形求和，还需注意 \([i,j]\) 跨过端点时的贡献。

对这些四元组以及询问进行整体二分即可。

时间复杂度 \(O((n+q)\log^2n)\)。

继续优化，发现对于一个时刻 \(v\)，仍有贡献的四元组 \((i,j,l,r),l\le v\le r\) 的区间 \([i,j]\) 除端点外互不相交，那么数点可以降一维：只要求 \(i\) 在区间内，此时只会算多包含右端点的一个贡献区间。

前驱后继可以类似地在整体二分中双指针维护。

时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)。