题解：P14170 二分图最大匹配期望

\(\text{Link}\)

题意

有一个左右分别 \(n,m\) 个点的二分图，其中左部点 \(i\) 与右部点 \(j\) 之间有边的概率为 \(p_{i,j}\)。求出该二分图的最大匹配的期望，对 \(998244353\) 取模。

\(T\le 15\)，\(n,m\le 8\)。

题解

默认左右两边各有 \(n\) 个点，不足的用 \(0\) 补齐即可。

考虑 Hall 定理，对于任意左部点集合 \(S\)，若存在 \(|S|>|N(S)|\) 则不合法。对于一个不合法的方案，我们选取一个代表元 \(\bm S\) 以防止记重，我们可以选取 \(|S|-|N(S)|\) 最大的集合 \(S\) 作为代表元，若存在多个满足条件的 \(S\)，选取其中 \(|S|\) 最小的一个。可以使用反证法证明此时代表元唯一。

考虑设状态 \(G(S,T)\) 表示考虑左部点集 \(S\) 和右部点集 \(T\) 之间的所有边，满足 \(N(S)=T\) 且 \(S\) 为该非法子图的代表元的概率。类似地，设 \(F(S,T)\) 表示考虑 \(S,T\) 之间的边，满足 \(N(S)=T\) 且存在左部点的完美匹配的概率。容斥转移如下：

\[F(S,T)=P(S,T)-\sum_{\substack{S'\sube S,T'\sube T\\|S'|>|T'|}}G(S',T')\cdot F(S-S',T-T')\cdot E(S',T-T') \]

\[G(S,T)=P(S,T)-\sum_{\substack{S'\sube S,T'\sube T\\|S'|-|T'|\ge |S|-|T|\\(S,T)\ne (S',T')}}G(S',T')\cdot F(S-S',T-T')\cdot E(S',T-T') \]

其中 \(P(S,T)\) 表示考虑 \(S,T\) 的导出子图，\(N(S)=T\) 的概率，\(E(S,T)\) 表示 \(S,T\) 间无边的概率。式子中乘上 \(F(S-S',T-T')\) 的原因是，若该部分不合法，选取其中的代表元可以得到一个更优的代表元，反之则不可能得到更优的代表元。

接下来考虑算期望最大匹配，枚举原图的代表元 \(S\)（若存在）与对应的 \(T=N(S)\)。那么剩余的 \(U-S\) 部分存在完美匹配，忽略 \(U-S\) 到 \(T\) 的边，枚举 \(U-S\) 在 \(U-T\) 中的邻点集合即可。

注意此时也有 \(N(S)\) 到 \(S\) 的完美匹配，否则其中存在相应的右侧的代表元，删去可以得到更优的左侧代表元。所以最大匹配数为 \(n-|S|+|T|\)。

时间复杂度 \(O(9^n)\)。

:::info[代码]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
namespace IO{//by cyffff
	
}
using IO::read;
using IO::write;
using IO::flush;
using IO::getc;
using IO::putc;
#define pii pair<int,int>
#define mpr make_pair
#define fir first
#define sec second
const int N=8+2,S=256+10,mod=998244353,iv100=828542813;
inline int add(int x,int y){ return x+y>=mod?x+y-mod:x+y; }
inline int dec(int x,int y){ return x>=y?x-y:x-y+mod; }
inline void inc(int &x,int y){ x=add(x,y); }
int n,m,u,p[N][N],pc[S],sp1[N][S],sp0[N][S],sd[S][S],np[S][S],f[S][S],g[S][S];
int main(){
//	freopen("dance4.in","r",stdin);
	int T=read();
	while(T--){
		n=read(),m=read();
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<m;j++)
				p[i][j]=1ll*read()*iv100%mod;
		n=max(n,m),u=1<<n;
		for(int i=0;i<n;i++){
			sp1[i][0]=sp0[i][0]=1;
			for(int s=1;s<u;s++){
				int lb=__lg(s&-s);
				sp1[i][s]=1ll*sp1[i][s^(1<<lb)]*p[i][lb]%mod;
				sp0[i][s]=1ll*sp0[i][s^(1<<lb)]*dec(1,p[i][lb])%mod;
			}
		}
		for(int s=1;s<u;s++)
			pc[s]=pc[s>>1]+(s&1);
		np[0][0]=1;
		for(int t=0;t<u;t++)
			sd[0][t]=1;
		for(int s=1;s<u;s++)
			for(int t=0;t<u;t++){
				int lb=__lg(s&-s);
				sd[s][t]=1ll*sd[s^(1<<lb)][t]*sp0[lb][t]%mod;
				np[s][t]=0;
				for(int tp=t;~tp;tp=tp?(tp-1&t):-1)
					inc(np[s][t],1ll*np[s^(1<<lb)][tp]*sd[s^(1<<lb)][t^tp]%mod*sp1[lb][t^tp]%mod);
			}
		f[0][0]=1;
		for(int s=1;s<u;s++)
			for(int t=0;t<u;t++){
				if(pc[s]<=pc[t]){
					f[s][t]=np[s][t];
					for(int sp=s;~sp;sp=sp?(sp-1&s):-1)
						for(int tp=t;~tp;tp=tp?(tp-1&t):-1){
							if(pc[sp]<=pc[tp]) continue;
							f[s][t]=dec(f[s][t],1ll*g[sp][tp]*sd[sp][t^tp]%mod*f[s^sp][t^tp]%mod);
						}
				}else{
					g[s][t]=np[s][t];
					for(int sp=s;~sp;sp=sp?(sp-1&s):-1)
						for(int tp=t;~tp;tp=tp?(tp-1&t):-1){
							if(s==sp&&t==tp) continue;
							if(pc[sp]-pc[tp]<pc[s]-pc[t]) continue;
							g[s][t]=dec(g[s][t],1ll*g[sp][tp]*sd[sp][t^tp]%mod*f[s^sp][t^tp]%mod);
						}
				}
			}
		int ans=1ll*n*f[u-1][u-1]%mod;
		for(int s=1;s<u;s++)
			for(int t=0;t<u;t++){
				if(pc[s]<=pc[t]) continue;
				int res=0;
				for(int ts=u-1^t,tp=ts;~tp;tp=tp?(tp-1&ts):-1)
					inc(res,1ll*f[u-1^s][tp]*sd[u-1^s][u-1^t^tp]%mod);
				res=1ll*res*g[s][t]%mod*sd[s][u-1^t]%mod;
				inc(ans,1ll*(n-pc[s]+pc[t])*res%mod);
			}
		write(ans),putc('\n');
		memset(p,0,sizeof(p));
	}
	flush();
}

:::