题解：P11567 建造军营 II

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联考迫真 NOIP 模拟赛 T3（

学完了 cxy 的 APIO2025 课件来做的，复杂度比原 std 优一点。

题意

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图 \(G=(V,E)\)，再给定 \(k\) 个点对 \((a_i,b_i)\)。对于一个连通边子图 \(G'=(V,E')\)，可以选择其中的一个边子集，一条边可选当且仅当不存在 \(1\le i\le k\) 使得存在从 \(a_i\) 到 \(b_i\) 且经过该边的边简单路径，定义 \(G'\) 的权值为选择边子集的方案数。

求所有连通边子图的权值和，对 \(10^9+7\) 取模。

\(n\le 16\)。

题解

容易发现权值计算与边双有关，具体地，将边双缩点后，对于每一对点对 \((a_i,b_i)\)，将 \(a_i,b_i\) 所在边双之间的所有边标黑，则可以进行选择的边为不被标黑的边。

边双连通-连通变换

首先必须要会求边双连通子图数。先考虑如下问题：定义 \(G=\text{Trans}(F,c)\)，其中 \(F,G\) 分别为集合幂级数，\(c\) 为一常数。对于集合 \(s\) 定义其划分 \(s_{1\sim k}\) 的权值为 \(c^{k-1}\prod_{i=1}^k F_{s_i}\) 再乘上用 \(k-1\) 条边将它们连通的方案数，即每选择一条边合并两个连通块带来 \(c\) 的贡献。需要返回的集合幂级数 \(G\) 的 \(s\) 项系数即为 \(s\) 所有划分的权值和。

考虑按照两端点编号的最大值的顺序进行加边。设集合幂级数 \(p_i\) 表示允许加两端点编号均 \(\le i\) 的边时的答案。对于一个点集 \(S\)，考虑删去新加边中一端点为 \(i\) 的边，形成若干个连通块 \(S=P\cup T_1\cup T_2\cup\cdots\cup T_k\)，其中 \(P\) 包含点 \(i\)，其余连通块均不包含。

设集合幂级数 \(q_{i-1,s}=[i\notin S]p_{i-1,s}\cdot cof(i,S)\cdot c\)，其中 \(cof(i,S)\) 表示 \(i\) 与集合 \(S\) 内编号 \(\le i\) 的点的边数。容易发现有 \(p_{i,s}=(p_{i-1}\cdot \exp q_{i-1})_s\)，注意该式只有在 \(i\in S\) 的项成立，对于其余项平凡地有 \(p_{i,s}=p_{i-1,s}\)。

令 \(F_s\) 表示 \(s\) 内连通子图数，则 \(\text{Trans}(F,-1)\) 即为边双连通子图数的集合幂级数。考虑 \(s\) 的一个子图，若其中存在割边，则这条割边必然分别在 \(F_s\) 处和合并时贡献 \(1\) 与 \(-1\)，即该方案不会被计入。求解 \(F_s\) 是经典问题，直接求 $\ln $ 即可。

时间复杂度 \(O(2^nn^3)\)。

本题解法

我们希望将原图划分为若干黑边连通块与白边双连通分量，且这些连通块之间均用白边连接。

先求出每个集合 \(s\) 作为黑边连通块的方案数。令 \(F_s\) 表示 \(s\) 内连通子图数，注意不能存在 \(a_i,b_i\) 使得其中恰有一个点在 \(s\) 内。考虑 \(F'=\text{Trans}(F,-1)\)，则若一种方案中存在白边，其必然会被抵消。

接下来需要求出集合 \(s\) 作为白边双连通分量时的权值之和。令 \(G_s\) 表示 \(s\) 内连通子图权值和，注意不能存在任意 \(a_i\) 或 \(b_i\) 在 \(s\) 内。\(G\) 的求解仍可用求 \(\ln\) 解决，而 \(G'=\text{Trans}(G,-2)\) 即为所求。

最后只需调用 \(\text{Trans}(F'+G',2)\) 合并连通块即可。

时间复杂度 \(O(2^nn^3)\)，经卡常可获得最优解。

附一份未经卡常的代码：

const int S=1<<16,N=16+2,M=N*N,mod=1e9+7;
int n,m,k,u,pw2[M],pw3[M],a[N],ct[S],c1[S],c2[S],T[S],F[S],G[S],A[S],B[S];
inline void Trans(int *F,int c){
	static int A[S],G[S];
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int s=0;s<u;s++)
			A[s]=s>>i&1?0:1ll*c*F[s]%mod*__builtin_popcount(a[i]&s)%mod;
		Poly::Exp(A,A);
		Poly::Mul(A,F,G);
		for(int s=0;s<u;s++)
			F[s]=s>>i&1?G[s]:F[s];
	}
}
int main(){
//	freopen("ex_war4.in","r",stdin);
	n=read(),k=read(),u=1<<n;
	Prefix(u),Poly::init(u);
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++){
			int c=getc()-'0';
			if(i<=j||!c) continue;
			a[i]|=1<<j,ct[(1<<i)|(1<<j)]++;
		}
	while(k--){
		int u=read()-1,v=read()-1;
		c1[1<<u]++,c1[1<<v]++,c1[(1<<u)|(1<<v)]-=2;
		c2[1<<u]++,c2[1<<v]++;
	}
	pw2[0]=pw3[0]=1;
	for(int i=1;i<=n*n;i++)
		pw2[i]=add(pw2[i-1],pw2[i-1]),
		pw3[i]=3ll*pw3[i-1]%mod;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int s=0;s<u;s++)
			if(s>>i&1)
				ct[s]+=ct[s^(1<<i)],
				c1[s]+=c1[s^(1<<i)],
				c2[s]+=c2[s^(1<<i)];
	for(int s=0;s<u;s++)
		T[s]=pw2[ct[s]];
	Poly::Ln(T,F);
	for(int s=1;s<u;s++)
		if(!c1[s])
			A[s]=F[s];
	Trans(A,mod-1);
	for(int s=0;s<u;s++)
		T[s]=pw3[ct[s]];
	Poly::Ln(T,F);
	Trans(F,mod-2);
	for(int s=1;s<u;s++)
		B[s]=c2[s]?A[s]:F[s];
	Trans(B,2);
	write(B[u-1]);
	flush();
}