题解：AT_xmascon20_d Determinant

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低！秩！矩！阵！分！解！

题意

给定整数 \(n,c\)，求解 \(n\times n\) 的矩阵 \(A_{i,j}\) 的行列式：

\[A_{i,j}=\begin{cases}1,&i=j\\0,&i\ne j\land j\bmod i=0\\c,&\text{otherwise}\end{cases} \]

对 \(998244353\) 取模。

\(n\le 10^9\)。

思路

注意到 \(A_{i,j}\) 里面不等于 \(c\) 的位置很少，不妨令 \(A=B+C\)，其中 \(C\) 表示一个 \(n\times n\) 的全 \(c\) 矩阵，

\[B_{i,j}=\begin{cases}1-c,&i=j\\-c,&i\ne j\land j\bmod i=0\\0,&\text{otherwise}\end{cases} \]

容易发现，\(B_{i,j}\) 是一个上三角矩阵，而 \(C_{i,j}\) 的秩为一。

对于求解 \(\det(A+B)\) 的问题，其中 \(\text{rank}(A)\) 为常数，考虑使用低秩矩阵分解。根据行列式的定义式有：

• 选取一个集合 \(S\sube\{1,2,\dots,n\}\)；
• \(\forall i\in S\)，将 \(B_{i,j}\) 替换为 \(A_{i,j}\)；
• \(\det(A+B)\) 的值等于所有子集 \(S\) 得到的矩阵 \(B'_{i,j}\) 的行列式之和；
• 根据行列式基本性质，只有在 \(|S|\le \text{rank}(A)\) 时才有可能做出贡献。

本题中 \(\text{rank}(C)=1\)，于是考虑计算将 \(B_{i,j}\) 中至多一行替换为全 \(C\) 的行列式。写出行列式的定义式：

\[\det(B)=\sum_{p_{1\sim n}}(-1)^{\text{inv}(p)}\prod_{i=1}^nB_{i,p_i} \]

由于 \(B_{i,j}\) 是上三角矩阵，在没有替换时必有 \(p_i=i\)。如果替换了第 \(k\) 行，那么在 \(p_{1\sim n}\) 上就会形成一个环，其中环上除了 \(k\) 的每个结点的编号都是下一个结点的因数。

考虑计算贡献，令 \(f(i)\) 表示替换第 \(i\) 行的贡献，则有：

\[f(n)=\dfrac{c}{1-c}(1+\sum_{d|n,d\ne n}f(d)) \]

\[f(n)=c+c\sum_{d|n}f(d) \]

需要求解 \(f(n)\) 的前缀和，令 \(g(n)=[n=1]-c\)，则 \((f\times g)(i)=c\)，于是可以模仿杜教筛进行求解。由于 \(f(n)\) 并不是积性函数，小的部分只能线性对数计算，故需要调整分治界做到最优复杂度。

注意特判 \(c=1\)，在 \(n\le 2\) 时答案为 \(1\)。

时间复杂度 \(O(n^{2/3}\log^{1/3} n)\)。

int n,c,ic,f[N],fs[N];
unordered_map<int,int>mp;
inline void Prefix(int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=1ll*c*ic%mod*add(f[i],1)%mod;
		fs[i]=add(fs[i-1],f[i]);
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
			inc(f[j],f[i]);
	}
}
inline int solve(int n){
	if(n<=N-10) return fs[n];
	if(mp.count(n)) return mp[n];
	int s=1ll*c*n%mod;
	for(int l=2,r;l<=n;l=r+1)
		r=n/(n/l),inc(s,1ll*c*(r-l+1)%mod*solve(n/l)%mod);
	return mp[n]=1ll*s*ic%mod;
}
int main(){
	n=read(),c=read(),ic=qpow(dec(1,c),mod-2);
	Prefix(min(n,N-10));
	if(c==1) return puts(n<=2?"1":"0"),0;
	write(1ll*qpow(dec(1,c),n)*(solve(n)+1)%mod);
	flush();
}