题解：P12044 [USTCPC 2025] Algorithm Duel

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题意

给定 \(n\) 个 \(3n-3\) 维的 01 向量，保证它们线性无关。你需要选出其中一些向量，使得它们的异或结果中一的个数在 \([n,2n-2]\) 中。

\(n\le 1000\)。

题解

先将这些向量塞入线性基中，再将每个最高位位置消成只有一个向量包含其，则基内每个向量 \(a_i\) 都有 \(|a_i|\le 2n-2\)。若存在 \(|a_i|\ge n\) 则直接找到了一组解，否则有所有 \(|a_i|\le n-1\)。

初始令向量 \(x=(0,\dots,0)\)，依次将 \(x\) 异或上 \(a_i\)，过程中必定存在一个时刻使得 \(n\le |x|\le 2n-2\)，原因如下：

• 最终有 \(|x|\ge n\)，这是因为 \(n\) 个最高位都必定存在；
• 过程中 \(|x|\) 单次增长不超过 \(n-1\)，这是因为 \(|a_i|\le n-1\)。

故第一次 \(|x|\ge n\) 的时刻必有 \(|x|\le 2n-2\)。

使用 bitset 求解线性基，时间复杂度 \(O\left(\dfrac{n^3}w\right)\)。