题解：P8299 [COCI2012-2013#2] INFORMACIJE

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题意

构造一个长为 \(n\) 的排列 \(p_{1\sim n}\)，使得其满足给出的 \(m\) 条限制，每条限制形如：

• 1 l r v，要求 \(p_{l\sim r}\) 的最大值为 \(v\)。
• 2 l r v，要求 \(p_{l\sim r}\) 的最小值为 \(v\)。

无解输出 -1。

\(n\le200\)。

Bonus：\(n\le 2\times 10^4\)。

思路

记 \(p_{1\sim n}\) 的逆排列为 \(q_{1\sim n}\)，则题目的要求可转化为 \(2n\) 条限制：\(p_i\in[l_i,r_i]\)，\(q_v\in[a_v,b_v]\)，不难看出可转化为二分图匹配问题，可以通过本题。

在平面直角坐标系上画出水平线段与竖直线段各 \(n\) 条，分别为：

• \(x=i\)，\(l_i\le y\le r_i\)；
• \(y=v\)，\(a_v\le x\le b_v\)。

则水平线段 \(i\) 与竖直线段 \(v\) 连边当且仅当两条线段相交，可以使用主席树优化建图，对横坐标做扫描线，在端点出插入删除水平线段，扫到一个横坐标时将该竖直线段与当前区间内存在的水平线段连边。

点数与边数均为 \(O(n\log n)\)。

考虑一个点 \(i\) 能连向哪些值 \(v\)，若值 \(v\) 未在任意限制中出现，则可直接建出这类值的线段树，对每个位置 \(i\) 使用普通线段树优化建图连向区间内的这类值。

否则注意到对于一个 \(p_i\in[l,r]\)，位置 \(i\) 可取且覆盖位置 \(i\) 的限制的值只可能为 \(l\) 或者 \(r\)，我们只需要根据 \(q_l,q_r\) 的条件判断 \(p_i\) 是否可取到值 \(l,r\) 便可。

点数为 \(O(n)\)，边数为 \(O(n\log n)\)。

使用 Dinic 算法即可通过 \(n\le 2\times 10^4\) 版本。