题解：P11694 [JRKSJ ExR] 淇宝的划分

\(\text{Link}\)

题意

给你一个长为 \(n\) 的有序序列 \(a_{1\sim n}\)，你需要将它划分为两个非空可重集 \(S,T\)，使得集合 \(S\) 内所有元素的 \(\gcd\) 与集合 \(T\) 内所有元素的 \(\text{lcm}\) 之差最小。多组数据。

\(T\le 10^4\)，\(n\le 10^6\)，\(\sum n\le 5\times 10^6\)。

题解

初步观察

首先对 \(n\) 个数求出它们的 \(\gcd,\text{lcm}\) 的复杂度事实上是 \(O(n+\log v)\) 的，当然求 \(\text{lcm}\) 需要限制其值域。

集合 G 指 \(\gcd\) 集合，集合 L 指 \(\text{lcm}\) 集合。

假如存在 \(a_i<a_j\) 且将 \(a_i\) 划入集合 G 且将 \(a_j\) 划入集合 L，那么此时一定有 \(\text{lcm}\) 部分大于 \(\gcd\) 部分的值。

由显然的观察可得，不可能存在 \(a_i<a_j<a_k\) 且 \(i,j,k\) 分别划分入集合 GLL，这是因为 \(a_j\ne a_k\) 就会导出 \(\text{lcm}(a_j,a_k)\ge 2a_j\)，由于 \(\gcd\le a_i<a_j\)，将 \(a_k\) 划入集合 G 最坏情况下也会把答案减小 \(a_j-a_i>0\)。

---

初步讨论

故只剩下三种情形：

• 形如 LLLLGGGG，选择一个前缀的 L；
• 形如 LLLGGLGG，选择一个前缀与一个单点的 L；
• 形如 GGGLGGGG，选择一个单点的 L。

其中的「单点」指的是连续一段相同的数。

情形一是简单的，我们只需要控制前缀 \(\text{lcm}\) 不超过二倍值域，求前缀 \(\text{lcm}\) 与 \(\gcd\) 同样是 \(O(n+\log v)\) 的。

---

情形二

接下来考虑情形二，我们需要导出更多的结论。

设选取了前缀 \(i\) 与单点 \(p\)，我们首先有 \(a_p\) 是 \(\text{lcm}(a_1,\dots,a_i)\) 的倍数，否则 \(\text{lcm}\ge 2a_p\)，不优于单独将 \(p\) 划入集合 L。

由此还可以导出一个显然的性质：固定 \(p\)，会选择最长的前缀 \(i\) 使得 \(\text{lcm}(a_1,\dots,a_i)\) 是 \(a_p\) 的因数，于是有用的前缀 \(i\) 的数量降为 \(O(\log v)\)。

接下来的部分为作者个人做法，较为繁杂，若不感兴趣可直接跳至「更加强大的结论」部分。

---

其次，我们只需要考虑 \(a_p\) 为最小的序列中的满足 \(a_p\) 是 \(\text{lcm}(a_1,\dots,a_i)\) 的倍数的数的情况。记序列中其余部分的 \(\gcd\) 为 \(x\)，前缀 \(i\) 的 \(\text{lcm}\) 为 \(y\)，\(a_p=c_0y\)，\(a_q=c_1y\)。

接下来我们说明选择前缀 \(i\) 与单点 \(a_q\) 一定不优于选择只前缀 \(i\)。需证明：

\[c_1y-\gcd(x,c_0y)\ge y-\gcd(x,c_0y,c_1y) \]

\[(c_1-1)y\ge \gcd(x,c_0y)-\gcd(x,c_0y,c_1y) \]

由于 \(c_0<c_1\)，放缩至

\[c_0y\ge \gcd(x,c_0y)-\gcd(x,c_0y,c_1y) \]

由于右侧是两个不超过 \(c_0y\) 的正整数相减，不可能比 \(c_0y\) 还大，得证。还需证明：

\[c_1y-\gcd(x,c_0y)\ge \gcd(x,c_0y,c_1y)-y \]

\[(c_1+1)y\ge \gcd(x,c_0y)+\gcd(x,c_0y,c_1y) \]

\[(c_1+1)y\ge \gcd(x,c_0y)+\gcd(x,c_0y,(c_1-c_0)y) \]

右侧两个数分别不超过 \(c_0y,(c_1-c_0)y\)，得证。

接下来我们需要对这 \(O(\log v)\) 个前缀 \(i\) 找到其后最近的是 \(\text{lcm}(a_1,\dots,a_i)\) 的倍数的 \(a_p\)。此处有明显的单调性，可以双指针求出。

下一个任务是求出区间 \((i,p)\) 内的 \(\gcd\)，这部分做法应该很多，我只提供一种。记这些前缀分别为 \(p_{1\sim k}\)，预处理一个数组 \(f_{1\sim n}\)，对于 \(\forall i\in(p_c,p_{c+1}]\)，\(f_i\) 的值为 \(\gcd_{j=p_c+1}^i a_j\)，那么区间 \((i,p)\) 划分为 \(O(\log v)\) 段，直接做连续 \(\gcd\) 的复杂度即为 \(O(\log v)\)。预处理 \(f_{1\sim n}\) 时同样做了 \(O(\log v)\) 次总长为 \(n\) 的连续 \(\gcd\)，复杂度正确。

---

情形三

接下来考虑情形三，瓶颈在于求一个前缀与一个后缀的 \(\gcd\)。注意到前缀、后缀 \(\gcd\) 均只有 \(O(\log^2v)\) 种取值，我们只需要预处理这 \(O(\log^2v)\) 个点对的 \(\gcd\) 结果。

注意多组数据 \(T\le 10^4\) 不允许我们单次 \(O(\log^3v)\)。由于后缀 \(\gcd\) 序列 \(s_{1\sim k}\) 满足 \(s_i\) 整除 \(s_{i+1}\)，所以对于一个前缀 \(\gcd\)，倒序枚举后缀 \(\gcd\) 做连续 \(\gcd\) 即可。

---

更加强大的结论

第二类情况有一个更加强大的结论：若选择前缀 \(i\)，则只需要考虑选择 \(i\) 向后第二个单点的情况。

不妨讨论如下情况：令 \(n=4\)，集合 L 为 \(\{a_1,a_4\}\)，集合 G 为 \(\{a_2,a_3\}\)。那么令 \(d=\gcd(a_2,a_3)\)，有 \(a_4-a_2> a_3-a_2\ge d\)，即 \(a_4-d>a_2\)，将两个集合选择为 \(\{a_2\},\{a_1,a_3,a_4\}\) 得到的答案显然不超过 \(a_2\)，得证。

换句话说，不可能存在 \(a_i<a_j<a_k\) 且 \(i,j,k\) 分别划分入集合 GGL，这样情形三都无需特殊处理了。

由这个结论就可以导出非常简单的做法了：只需对 \(O(\log v)\) 个有效前缀与其后第二个单点求解答案。

上述做法均可达到总时间复杂度 \(O(n+\log^2 v)\)，可以通过。