题解 P5809【【模板】多项式复合逆】

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力求把最新技术翻译地人人都能看懂。

推荐先学习：拉格朗日反演。

题意

给出 \(n\) 次多项式 \(F(x)\)，求一个 \(n\) 次多项式 \(G(x)\) 满足 \(F(G(x))\equiv x(\bmod x^{n+1})\)。保证 \([x^0]F(x)=0\) 且 \([x^1]F(x)\ne 0\)。

\(n\le 2\times 10^4\)。

思路

我们将 \([x^1]F(x)\) 化成 \(1\) 以便后续处理。令 \(F'(x)\) 为原多项式，\(v\) 为 \([x^1]F'(x)\)，\(F(x)\) 为 \(\dfrac{F'(x)}{v}\)。

那么我们有：\(F(G(x))=\dfrac{x}{v}\)，\(F^k(G(x))=\dfrac{x^k}{v^k}\)，根据扩展拉格朗日反演，我们有：

\[[x^n]F^k(x)=\frac1{n}\cdot[x^{n-1}]\frac{kx^{k-1}}{v^k}\cdot\frac{x^n}{G^n(x)} \]

\[[x^n]F^k(x)=\frac k {nv^k}\cdot[x^{n-k}]\frac{x^n}{G^n(x)} \]

\[\sum_kx^{n-k}\frac{nv^k}k[x^n]F^k(x)=\left(\frac{G(x)}x\right)^{-n} \]

\[G(x)=x\left(\sum_kx^{n-k}\frac{nv^k}{k}[x^n]F^k(x)\right)^{-1/n} \]

\[G(x)=\frac{x}v\left(\sum_kx^{n-k}\frac{n}{kv^{n-k}}[x^n]F^k(x)\right)^{-1/n} \]

可以发现此处需要开根的多项式常数项为 \(1\)，直接用多项式快速幂即可。于是接下来我们的任务就是对 \(\forall k\in[0,n]\) 求出 \([x^n]F^k(x)\)。不难发现，这等价于求多项式 \([x^n]\dfrac{1}{1-yF(x)}\)。

首先我们需要了解 Bostan-Mori 算法，该算法可在 \(O(k\log k\log n)\) 的复杂度下对 \(O(k)\) 次的多项式 \(F(x),G(x)\) 求出 \([x^n]\dfrac{F(x)}{G(x)}\)。具体地，

\[[x^n]\dfrac{F(x)}{G(x)}=[x^n]\dfrac{F(x)G(-x)}{G(x)G(-x)}=[x^n]\dfrac{F_0(x^2)}{G_0(x^2)}+x\dfrac{F_1(x^2)}{G_0(x^2)} \]

两边分别只有偶数次和奇数次有值，根据 \(n\) 的奇偶性取一边递归即可。当 \(n=0\) 时直接返回 \(\dfrac{[x^0]F(x)}{[x^0]G(x)}\) 即可。

二元多项式的情况也是一样的：

\[[x^n]\dfrac{F(x,y)}{G(x,y)}=[x^n]\dfrac{F(x,y)G(-x,y)}{G(x,y)G(-x,y)}=[x^n]\dfrac{F_0(x^2,y)}{G_0(x^2,y)}+x\dfrac{F_1(x^2,y)}{G_0(x^2,y)} \]

注意到递归到第 \(t\) 层时 \(x\) 只需要保留 \(\lfloor\dfrac{n}{2^t}\rfloor\) 次，而 \(y\) 每层次数只会翻倍，只有 \(2^{t+1}\) 次，所以整个二元多项式只有 \(O(n)\) 项。

于是我们在 \(O(n\log^2n)\) 的时间复杂度内解决了多项式复合逆问题。

核心代码：

namespace PolyC{
	//...
	#define PolyY vector<Poly>
	inline PolyY operator*(const PolyY &a,const PolyY &b){
		int n=a.size(),m=b.size(),p=a[0].size(),q=b[0].size();
		Poly P,Q;
		P.resize(n*(p+q-1)),Q.resize(m*(p+q-1));
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<p;j++)
				P[i*(p+q-1)+j]=a[i][j];
		for(int i=0;i<m;i++)
			for(int j=0;j<q;j++)
				Q[i*(p+q-1)+j]=b[i][j];
		P=P*Q;
		PolyY F(n+m-1,Poly(p+q-1,0)); 
		for(int i=0;i<n+m-1;i++)
			for(int j=0;j<p+q-1;j++)
				F[i][j]=P[i*(p+q-1)+j]; 
		return F;
	}
}
using namespace PolyC;
inline Poly BostanMori(int n,PolyY F,PolyY G){
	if(!n) return F[0]*Inv(G[0]);
	if(n+1<F.size()) F.resize(n+1);
	if(n+1<G.size()) G.resize(n+1);
	PolyY H=G;
	for(int i=1;i<H.size();i+=2)
		for(int j=0;j<H[i].size();j++)
			H[i][j]=dec(0,H[i][j]);
	F=F*H,G=G*H;
	PolyY A,B;
	for(int i=n&1;i<F.size();i+=2) A.push_back(F[i]);
	for(int i=0;i<G.size();i+=2) B.push_back(G[i]);
	return BostanMori(n/2,A,B);
}
inline Poly CompInv(Poly F){
	int n=F.size();
	int t=F[1],v=qpow(t,mod-2);
	for(int i=0;i<n;i++)
		F[i]=1ll*F[i]*v%mod;
	PolyY P,Q;
	for(int i=0;i<n;i++)
		P.push_back({!i,0}),
		Q.push_back({!i,dec(0,F[i])});
	Poly G=BostanMori(n-1,P,Q),H(n,0); 
	G.resize(n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		H[n-1-i]=1ll*G[i]*(n-1)%mod*inv[i]%mod;
	for(int i=0,w=1;i<n;i++,w=1ll*w*v%mod)
		H[i]=1ll*H[i]*w%mod;
	H=Pow(H,mod-inv[n-1]);
	H.insert(H.begin(),0),H.resize(n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		H[i]=1ll*H[i]*v%mod;
	return H;
}