题解 P7431【[THUPC2017] 小 L 的计算题】

$\text{Link}$

$\text{upd 2022.2.8}$：修改 $\LaTeX$ 和错误的式子。

题意

$$f_k=(\sum_{i=1}^na_i^k)\bmod 998244353$$ 计算出 $f_1\sim f_n$。

思路

算出 $f$ 数列的 $\text{OGF}$ $F(x)$

$$\begin{aligned}F(x)&=\sum_{i\ge0}x^i\Big(\sum_{j=1}^n{a_j}^i\Big)\\&=\sum_{j=1}^n\sum_{i\ge0}{(a_jx)}^i\\&=\sum_{j=1}^n\dfrac{1}{1-a_jx}\\&=\sum_{j=1}^n\Big(1-\dfrac{-a_jx}{1-a_jx}\Big)\\&=n-x\sum_{j=1}^n\dfrac{-a_j}{1-a_jx}\end{aligned}$$ 我们发现有 $\dfrac{-a_j}{1-a_jx}=(\ln(1-a_jx))'$，得：$$F(x)=n-x\sum_{j=1}^n(\ln(1-a_jx))'$$ 又有 $a'+b'=(a+b)'$，得：$$\begin{aligned}F(x)&=n-x(\sum_{j=1}^n\ln(1-a_jx))'\\&=n-x(\ln\prod_{j=1}^n(1-a_jx))'\end{aligned}$$ 这个可以分治 $\text{NTT}$ 求出。

再见 qwq~