题解 SP2124【FCTRL4】

SP2124 FCTRL4 - Last Non-Zero Digit of Factorials

建议蓝。

题意

求 $f(n)=n!$ 中最后一位非 $0$ 数，$1\le n\le 10^{100}$。

思路

显然不能暴力。

引入符号 $s(n)=1\times 2\times 3\times 4\times 6\times ...\times 9\times 11$ 即 $n!$ 中不包含因数 $5$ 的项的乘积。

设 $a(n)$ 表示 $s(n)$ 中最后一位，显然，$a(n)\ne 0$。

对于 $n=1,2,3,...$，我们发现 $a(n)=1,2,6,4,4,4,8,4,6,6,6,2,6,4,4,4,8,4,6,6,6,...$，发现没有？循环节 $2,6,4,4,4,8,4,6,6,6$。

我们可以先处理出 $n\le 10$ 的 $f(n)$，然后讨论一下。

$$n!=s(n)\times 5^{\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor}\times (\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor)!$$$$=\frac{s(n)}{2^{\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor}}\times {10}^{\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor}\times (\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor)!$$ 即 $f(n)=\frac{s(n)}{2^{\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor}}\times (\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor)!$ 的最后一位非 $0$ 数。

又十分显然 $f(n)=\frac{s(n)}{2^{\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor}}\times f(\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor)$ 的最后一位非 $0$ 数。

考虑 $a(n)$ 与 $a(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor)$ 的关系。

经过找规律，$$a(n)=2\iff a(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor)=6$$$$a(n)=6\iff a(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor)=8$$$$a(n)=8\iff a(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor)=4$$$$a(n)=4\iff a(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor)=2$$ 循环。

又 $a(n)$ 循环，容易计算，所以 $\frac{s(n)}{2^{\left\lfloor\frac{n}{5}\right\rfloor}}$ 的最后一位容易计算。

所以 $f(n)$ 就能计算了。

因为要高精度，于是我用了 Python 实现。

Code:

a=[6,2,6,4,4,4,8,4,6,6]
sm=[1,2,6,4,2,2,4,2,8,8]
t=[2,6,8,4]
def geta(n):
    if n==1:
        return 1
    else:
        return a[(n-1)%10]
def gets(n):
    last=geta(n)
    id=t.index(last)
    return t[(id+(n//5))%4]
def f(n):
    if n<=10:
        return sm[n-1]
    else:
        return (gets(n)*f(n//5))%10
def testt(n):
    s=1
    for i in range(2,n+1):
        s=s*i
    return s
fl=True
while fl:
    try:
        n=int(input())
        print(f(n))
    except:
        fl=False

再见，qwq~