题解 CF438E【The Child and Binary Tree】

$\text{Link}$

题意

对 $1\le i\le m$ 求满足所有节点权值在集合 $\{c_i|1\le i\le n\}$ 中的有根二叉树个数。其中一节点的权值为其子树中所有节点的权值和。

$1\le n,m,c_i\le10^5$.

思路

这题是一道生成函数入门题。

首先想一个 $\text{dp}$，设 $f_i$ 表示权值为 $i$ 的答案，$g_i=[i\in\{c_i\}]$。

$$f_n=[n=0]+\sum_{i\ge1}g_i\sum_{j=1}^{n-i}f_jf_{n-i-j}$$

写出 $f$ 的 $\text{OGF}$，

$$F(x)=\sum_{n\ge0}f_nx^n$$$$F(x)=1+\sum_{n\ge0}\sum_{i\ge1}g_i\sum_{j=1}^{n-i}f_jf_{n-i-j}x^n$$$$F(x)=1+G(x)F^2(x)$$$$G(x)F^2(x)-F(x)+1=0$$

可以解得$$F(x)=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}$$ 有两解，于是可以将式子化为$$2F(x)G(x)=1\pm\sqrt{1-4G(x)}$$ 此时若取 $+$ 号，有$$[x^0]2F(x)G(x)=0,[x^0]1+\sqrt{1-4G(x)}\ne0$$ 即$$2F(x)G(x)\ne1+\sqrt{1-4G(x)}$$ 故取 $-$ 号。

$$F(x)=\dfrac{1-\sqrt{1-4G(x)}}{2G(x)}$$

$[x^0]G(x)=0$，无法对 $G(x)$ 求逆，考虑上下同乘 $1+\sqrt{1-4G(x)}$，$$F(x)=\dfrac{4G(x)}{2G(x)+2G(x)\sqrt{1-4G(x)}}$$$$F(x)=\dfrac{2}{1+\sqrt{1-4G(x)}}$$ 接下来就可以直接开根+求逆了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
namespace IO{//by cyffff

}
const int mod=998244353,inv2=mod+1>>1,N=262145+10;
namespace Poly{
    int a[N],b[N],c[N],rev[N],f[N],g[N],inv[N],fac[N],ifac[N],lim;
    inline void init(int n,int mode=1){
        if(mode){
            int l=0;
            for(lim=1;lim<=n;lim<<=1)l++;
            for(int i=1;i<lim;i++){
                rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
            }
        }else{
            for(lim=1;lim<=n;lim<<=1);
        }
    }
    inline int qpow(int x,int y){
        int res=1;
        while(y){
            if(y&1) res=1ll*res*x%mod;
            x=1ll*x*x%mod;
            y>>=1;
        }
        return res;
    }
    inline void Prefix(int n){
        inv[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
        fac[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
        ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
        for(int i=n;i>=1;i--)
            ifac[i-1]=1ll*ifac[i]*i%mod;
    }
    inline void NTT(int *a,int t){
        for(int i=0;i<lim;i++)
            if(i<rev[i])
                swap(a[i],a[rev[i]]);
        for(int i=1;i<lim;i<<=1){
            int gl=qpow(3,(mod-1)/(i<<1));
            for(int j=0;j<lim;j+=(i<<1)){
                int t1,t2,now=1;
                for(int k=0;k<i;k++,now=1ll*now*gl%mod){
                    t1=a[j+k];
                    t2=1ll*now*a[i+j+k]%mod;
                    a[j+k]=(t1+t2)%mod;
                    a[i+j+k]=(t1-t2+mod)%mod;
                }
            }
        }
        if(t==1) return ;
        int Inv=qpow(lim,mod-2);
        reverse(a+1,a+lim);
        for(int i=0;i<lim;i++)
            a[i]=1ll*a[i]*Inv%mod;
    }
    inline void Inv(int *a,int *b,int n){
        if(n==1){
            b[0]=qpow(a[0],mod-2);
            return ;
        }
        Inv(a,b,n+1>>1);
        init(n<<1);
        for(int i=0;i<n;i++)
            c[i]=a[i];
        for(int i=n;i<lim;i++)
            c[i]=0;
        NTT(c,1),NTT(b,1);
        for(int i=0;i<lim;i++)
            b[i]=1ll*(2-1ll*c[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
        NTT(b,-1);
        for(int i=n;i<lim;i++)
            b[i]=0;
    }
    inline void Mul(int *f,int *g,int *h,int n){
        static int a[N],b[N];
        init(n<<1);
        memset(a,0,lim<<2);
        memcpy(a,f,n<<2);
        memset(b,0,lim<<2);
        memcpy(b,g,n<<2);
        NTT(a,1),NTT(b,1);
        for(int i=0;i<lim;i++){
            h[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
        }
        NTT(h,-1);
    }
    inline void Sqrt(int *f,int *g,int n){
        if(n==1){ g[0]=1;return ; }
        Sqrt(f,g,n+1>>1);
        memset(a,0,n<<2);
        Inv(g,a,n);
        Mul(f,a,a,n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            g[i]=1ll*(g[i]+a[i])*inv2%mod;
    } 
}
using namespace Poly;
int n,m,mx;
int main(){
    n=read(),m=read()+1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int x=read();
        g[x]++;
        mx=max(mx,x);
    }
    mx++;
    for(int i=1;i<mx;i++)
        if(g[i])
            g[i]=mod-4*g[i];
    g[0]++;
    Sqrt(g,b,m);
    b[0]++;
    Inv(b,f,m);
    for(int i=1;i<m;i++)
        write(f[i]*2%mod),putc('\n');
    flush();
}

再见 qwq~