题解 UVA1118 【Binary Stirling Numbers】

$\text{Link}$

双倍经验：$\text{Link}$

题意

求 $\displaystyle{n\brace m}\bmod 2$。多组数据。

$1\le n,m\le 10^9,1\le T\le 200$

思路

首先特判几个特殊情况

$${n\brace 0}={0\brace n}=[n=0]$$$${n\brace m}=0(n<m)$$

再来看递推式。$${n\brace m}=m{n-1\brace m}+{n-1\brace m-1}$$

此时可以对 $m$ 的奇偶性分类讨论。

• $2|m$

  $${n\brace m}\equiv {n-1\brace m-1}(\bmod 2)$$

• $2\nmid m$

  $${n\brace m}\equiv {n-1\brace m-1}+{n-1\brace m}(\bmod 2)$$

考虑建立平面直角坐标系，其中点 $(n,m)$ 的值即为 $\displaystyle{n\brace m}\bmod 2$。

考虑 $\displaystyle{n\brace m}$ 可从 $\displaystyle{n-1\brace m-1}$ 和 $\displaystyle{n-1\brace m}$ （当 $2|m$）转移至，考虑 $m$ 只能由第一种转移增加，于是从 $(0,0)$ 至 $(n,m)$ 的转移中第一种转移的次数为 $m$ 次，那么第二种便转移了 $n-m$ 次。

相当于有 $n-m$ 个连续的第一种转移段，而可进行的第一次转移只有 $d=\lceil\frac {m} {2}\rceil$ 次，故

$${n\brace m}\equiv \binom{n-m+d-1}{d-1}(\bmod 2)$$

即问题转化为组合数奇偶性问题。

根据 $\text{Lucas}$ 定理，

$$\binom n m\equiv \binom{\lfloor\frac n 2\rfloor}{\lfloor\frac m 2\rfloor}\times \binom{n\bmod 2}{m\bmod 2}(\bmod 2)$$

递归时我们发现每次都会将 $n,m$ 去掉最后一位，若 $n$ 二进制的第 $i$ 位为 $0$ 且 $m$ 为 $1$ 时，$\displaystyle\binom n m\equiv0(\bmod 2)$，即$$\binom n m\equiv1(\bmod 2)$$ 当且仅当 $n\text{ and }m=m$。

故原问题迎刃而解。

时间复杂度 $O(T)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
namespace IO{//by cyffff

}
int main(){
    int t=read();
    while(t--){
        int n=read(),m=read();
        if(!n&&!m) write(1);
        else if(!n||!m) write(0);
        else if(n<m) write(0);
        else{
            int d=m+1>>1;
            write((n-m+d-1&d-1)==d-1);
        }
        putc('\n');
    }
    flush();
    return 0;
}

再见 qwq~