题解 P8146【[JRKSJ R4] risrqnis】

$\text{Link}$

题意

给你一个长度为 $n$ 的序列 $a$，有 $q$ 次操作，初始有 $m$ 个空集 $S$，共有两种操作：

• 1 l r k，$S_k\gets S_k\cup\{x|l\le x\le r\}$；
• 2 l r k，查询 $\displaystyle\sum_{i=l}^r[a_i\in S_k]$。

数据范围：

• 对于 $30\%$ 的数据，$n,q\le10^6$，$m=1$；
• 对于 $70\%$ 的数据，$n,q\le 3\times 10^5$，$m\le 10^9$。

题解

$\text{Algorithm 1}$

称所有 $a_i\in S$ 的 $i$ 的数 $i$ 为“合法结点”。

考虑算出每次插入操作后每个数是不是合法结点，查询时统计区间的合法结点数的个数即可。

考虑将原序列排序，得到序列 $b$，对于一次插入操作，在 $b$ 上二分找到第一个 $\ge l$ 的数 $L$，最后一个 $\le r$ 的数 $R$，将 $[L,R]$ 中的数的原位置标记为合法结点。考虑使用树状数组，标记合法结点后可以直接查询。

现在遇到了一个问题：一个数可能会被多次标记合法结点，导致复杂度出错。

考虑使用并查集惰性删除的简单 trick，删除一个数 $i$ 时，将集合 $i$ 合并至集合 $i+1$，对于一个本次新标记的点 $i$，下一个需要标记的点为 $\text{find}(i+1)$。容易发现，这样每个数都不会被重复标记。

由于每个数都只会被标记一次（可以看作势能分析），时间复杂度为 $O((n+q)\log n)$，期望得分 $30\text{pts}$。

有 $m$ 个集合时，时间复杂度实质上是 $O((nm+q)\log n)$。

$\text{Algorithm 2}$

很显然，$m$ 是不重要的，因为显然可以离散化至 $O(q)$。

令 $m=q=O(n)$。

首先可以发现每个集合的操作是互不影响的，可以分别考虑。

需要进行 $O(n)$ 组以下的操作：

• 将值域中 $[l,r]$ 间的数的权值推平 $1$
• 询问编号 $[l,r]$ 间数的权值和

先用 set 维护颜色段均摊（ODT）将区间推平转为区间加，可以发现转完的操作数是 $O(n)$ 的。

考虑序列分块，每个块维护一个值域上的前缀和，整块打标记很好打，只需要将答案加上 $pre_r-pre_{l-1}$ 即可。考虑散块怎么做，问题即为区间加单点求值，注意到要 $O(1)$ 查询，不能用权值树状数组之流，于是拿个值域分块过来直接做就行了。

于是乎得到了一个时空 $O(n\sqrt n)$ 的算法，但这样你只能得 $30\text{pts}$，因为空间不够优秀。

考虑降空间复杂度至 $O(n)$。考虑 simple trick 离线逐块处理。直接逐块处理散块时复杂度可能会退化为 $O(n^2)$，注意将整块贡献与散块贡献分开计算。整块贡献要先枚举块再枚举集合，散块贡献很 simple。

如果你被卡常，过不了，可以尝试调一个合适的块长。

得到了一个时间 $O(n\sqrt n)$，空间 $O(n)$ 的算法。期望得分 $70\text{pts}$。

将两部分结合起来即可。

代码实现可以找我要。

$\text{Bonus}$

有根号分治做法，也可以线性空间，具体看 $\texttt{abruce}$ 题解。

跑得比序列分块快多了。

再见 qwq~