题解 P8143【[JRKSJ R4] Stirling】

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题意

定义 $n$ 阶排列 $p$ 的生成图为对 $\forall i\in[1,n]$ 连接 $(i,p_i)$ 的无向图。

求有几个 $n$ 阶排列的生成图有偶数个环。

$n\le 10^6$。

思路

现在的官方题解做法是我提供的，之前是转化成逆序对后解释的。

$n=1$ 的情况平凡，答案为 $0$。

排列的生成图一定是由若干环组成的，证明：每个点的入度与出度都为 $1$，点数和边数都是 $n$，考虑一个连通子图，设它的大小为 $s$，其中有 $s+k$ 条边，若 $k>0$，则至少有一个点入度大于 $1$；若 $k<0$，必然有其它连通块 $k>0$。所以 $k$ 必然等于 $0$，也就是说边数等于点数。此时有两种形态：单一的环或基环树，基环树中必然有一点有 $2$ 入度同样矛盾，证毕。

考虑交换 $p_1$ 和 $p_2$，断开 $(1,p_1)$ 和 $(2,p_2)$ 并连接 $(1,p_2)$ 和 $(2,p_1)$，若它们在一个环中，则断开会把环展开为两条链，连接会把它们修复为两个环；反之，断开会把两个环展开为两条链，连接会把它们组成一个环。

综上，交换 $p_1$ 和 $p_2$ 会改变环数奇偶性，也就是说，生成图有偶数个环的 $n$ 阶排列与生成图有奇数个环的 $n$ 阶排列构成双射，答案为 $\dfrac{n!}2$。

时间复杂度 $\Theta(n)$。

再见 qwq~