题解 NOIP2022 62C【区间】

题意

给出 $n$ 个数轴上的区间 $[l_i,r_i]$，定义 $\displaystyle w(L,R)=\left|\bigcup_{i=L}^R[l_i,r_i]\right|$，$m$ 个询问 $[l,r]$，求出 $\displaystyle\dfrac{2}{(r-l+1)(r-l+2)}\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^rw(i,j)$，对 $998244353$ 取模。

$n\le 8\times 10^5$，$m\le 10^6$，$1\le l_i< r_i\le 998244353$，时限 4s。

思路

数轴上的区间不好处理，将 $[l,r]$ 用 $[l,r-1]$ 表示，每个点 $i$ 对应了 $i$ 到 $i+1$ 的区间。

考虑离线扫描线。这个区间应该是离不开颜色段均摊的。

我们定义 $S_i$ 为扫到 $i$ 时刻的颜色段均摊，每一个颜色段用 $(x,y)$ 表示，其中 $x$ 为此段属于哪个区间 $[l_x,r_x]$，$y$ 表示这段的长度。

考虑要求什么：

$$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^r\sum_{j\ge l}\sum_{(x,y)\in S_i}[x\ge j]y\\ &=\sum_{i=1}^r\sum_{(x,y)\in S_i}[x\ge l](x-l+1)y\\ &=\sum_{i=1}^r\sum_{(x,y)\in S_i}[x\ge l]xy-(l-1)\sum_{(x,y)\in S_i}[x\ge l]y\end{aligned}$$

在插入、删除颜色段的时候在 $x$ 的位置修改一下。发现一个 $x$，它会对每个时刻都有 $xy-(l-1)y$ 的贡献。考虑使用维护区间历史版本和的线段树，一颗维护 $xy$，一颗维护 $y$。

历史版本和线段树用加一次函数的形式更容易理解和维护。

预处理 $1\sim n$ 的逆元，时间复杂度 $O((n+q)\log n)$。

参考代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
namespace IO{//by cyffff

}
#define sit set<node>::iterator
const int N=8e5+10,Q=2e6+10,mod=998244353;
inline int qpow(int x,int y){
    int res=1;
    while(y){
        if(y&1) res=1ll*res*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
int n,q,L[N],R[N],ans[Q],inv[N];
struct Query{
    int l,id;
};
vector<Query>vec[N];
struct node{
    int l;
    mutable int r,v;
    node(int L=0,int R=0,int V=0){l=L,r=R,v=V;}
    inline friend bool operator<(const node &a,const node &b){
        return a.l<b.l;
    }
};
struct Line{
    int k,b;
    Line(int K=0,int B=0){ k=K%mod,b=B%mod; }
    inline friend Line operator+(const Line &a,const Line &b){
        return {(a.k+b.k)%mod,(a.b+b.b)%mod};
    }
    inline int getv(int x){
        return (1ll*k*x+b)%mod; 
    }
};
struct Segment_Tree{
    #define ls (rt<<1)
    #define rs (rt<<1|1)
    Line sum[N<<2];
    inline void pushup(int rt){
        sum[rt]=sum[ls]+sum[rs];
    }
    inline void modify(int rt,int l,int r,int p,Line v){
        if(l==r){
            sum[rt]=sum[rt]+v;
            return ;
        }
        int mid=l+r>>1;
        if(p<=mid) modify(ls,l,mid,p,v);
        else modify(rs,mid+1,r,p,v);
        pushup(rt);
    }
    inline int query(int rt,int l,int r,int L,int R,int x){
        if(L<=l&&r<=R)
            return sum[rt].getv(x);
        int mid=l+r>>1,ans=0;
        if(L<=mid) ans=(ans+query(ls,l,mid,L,R,x))%mod;
        if(R>mid) ans=(ans+query(rs,mid+1,r,L,R,x))%mod;
        return ans;
    }
}T1,T2;
set<node>st;
inline sit split(int p){
    sit it=st.lower_bound(node(p));
    if(it!=st.end()&&it->l==p)
        return it;
    --it;
    int r=it->r,v=it->v;
    it->r=p-1;
    return st.insert(node(p,r,v)).first;
}
inline void ins(int l,int r,int id){
    if(l>r) return ;
    sit itr=split(r+1),itl=split(l);
    for(sit it=itl;it!=itr;++it){
        int x=it->v,y=it->r-it->l+1;
        T1.modify(1,0,n,x,Line(mod-1ll*x*y%mod,1ll*x*y%mod*(id-1)%mod));
        T2.modify(1,0,n,x,Line(mod-y,1ll*y*(id-1)%mod));
    }
    int x=id,y=r-l+1;
    T1.modify(1,0,n,x,Line(1ll*x*y%mod,mod-1ll*x*y%mod*(id-1)%mod));
    T2.modify(1,0,n,x,Line(y,mod-1ll*y*(id-1)%mod));
    st.erase(itl,itr),st.insert(node(l,r,id));
}
/*
2 1
1 5
4 8
1 2
*/
int main(){
    n=read(),q=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        L[i]=read(),R[i]=read()-1;
    st.insert(node(1,mod));
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int l=read(),r=read();
        vec[r].push_back((Query){l,i});
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ins(L[i],R[i],i);
        for(auto q:vec[i])
            ans[q.id]=(T1.query(1,0,n,q.l,n,i)-1ll*(q.l-1)*T2.query(1,0,n,q.l,n,i)%mod+mod)%mod*qpow(1ll*(i-q.l+1)*(i-q.l+2)/2%mod,mod-2)%mod;
    }
    for(int i=1;i<=q;i++)
        write(ans[i]),putc('\n');
    flush();
}