《算法导论》笔记 第9章 9.3最坏情况线性时间选择

【笔记】

SELECT最坏运行情况是线性的。

【练习】

9.3-1 在算法SELECT中，输入元素被分为每组5个元素。如果它们被分为每组7个元素，该算法会仍然以线性时间工作吗？证明如果分成每组3个元素，SELECT无法在线性时间内运行。

考虑每组分为k个元素。则大于或小于中位数的中位数的数至少为

因此在最坏情况下SELECT将处理最多n-(n/4-k)=3n/4+k个元素。

递归式

用代换法解决，假设算法是线性的，猜测有T(n)<=cn。

其中最后只在k>=4时成立。

因此该算法对4个及4个以上的分组是线性的。当k=3时该算法的复杂度是Ω(nlgn)。

9.3-2 分析SELECT，并证明如果n>=140，则至少有n/4个元素大于中位数的中位数x，并且至少有n/4个元素小于x。

9.3-3 假定元素的值不同，说明如何才能使快速排序在最坏情况下以O(nlgn)时间运行。

在快速排序中，使用完美分区即可在最坏情况下有O(nlgn)复杂度。每次以线性时间选出区间的中位数即可。

9.3-4 假设对一个含有n个元素的集合，某算法只能用比较来确定第i小的元素。证明：无需另外的比较操作，它也能找到比i小的i-1个元素和比i大的n-i个元素。

9.3-5 假设已经有了一个用于求解中位数的黑箱子程序，它在最坏情况下需要线性运行时间。写出一个能解决任意顺序统计量的选择问题的线性时间算法。

用该黑箱算法做9.2中算法的划分，T(n)<=T(n/2)+O(n)+O(n)。

9.3-6 对一个含有n个元素的集合来说，所谓k分位数，就是能把已排序的集合分成k个大小相等的集合的k-1个顺序统计量。给出一个能列出某一集合的k分位数的O(nlgk)时间的算法。

9.3-7 给出一个O(n)时间的算法，在给定一个有n个不同数字的集合S以及一个正整数k<=n后，它能确定出S中最接近其中位数的k个数。

找到n个数的中位数，将n个数都减去其中位数，选出绝对值第k小的数，依次扫描n个数，其中绝对值小于等于第k小数的值加上中位数的既是最接近中位数的数。

9.3-8 设X[1..n]和Y[1..n]为两个数组，每个都包含n个已排好序的数。给出一个求数组X和Y中所有2n个元素的中位数的、O(lgn)时间算法。

int findMedian(int A[],int B[],int n,int low,int high) {
    if (low > high) return NOT_FOUND;
    else {
        int k = (low+high)/2;
        if (k==n && A[n]<=B[1]) return A[n];
        else if (k<n && B[n-k]<=A[k] && A[k]<=B[n-k+1]) return A[k];
        else if (A[k] > B[n-k+1]) return findMedian(A,B,n,low,k-1);
        else return findMedian(A,B,n,k+1,high);
    }
}
int twoArrayMedian(int X[],int Y[],int n) {
    int median = findMedian(X,Y,n,1,n);
    if (median==NOT_FOUND) median = findMedian(Y,X,n,1,n);
    return median;
}

我们要取下中位数，注意到一个数x是中位数，当且仅当有n-1个数比x小，有n个数比x大，我们首先假设中位数在数组A中，二分中位数可能在的位置。

假设中位数所在区间为[L,R]，k为(L+R)/2。若A[k]是中位数，数组A中有k-1个数比A[k]小，n-k个数比A[k]大。若B中有n-k个数比A[k]小，有k个数比A[k]大，则A[k]是中位数。

由于B是已排序的，因此B[n-k]<=A[k]<=B[n-k+1]。

若A[k]>B[n-k+1]，则比A[k]小的数至少有n个，所以中位数小于A[k]，因此在区间[L,k-1]中。

反之则在区间[k+1,R]中。

若L>R，则中位数不在A中，对B数组进行同样的二分操作即可。

9.3-9 给定各口井的x坐标和y坐标，应如何选择主管道的最优位置？证明最优位置可以在线性时间内确定。

取y的中位数即可。大概吧。