欧几里得算法 & 扩展欧几里得算法

一、欧几里得算法
　　欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数
　　引理：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)\)
　　证明：
　　　　设 \(r=a%b\) , \(c=gcd(a,b)\)
　　　　则 \(a=xc\) , \(b=yc\) , 其中 \(x , y\) 互质
　　　　\(r=a\%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c\)
　　　　而 \(b=yc\)
　　　　假设 \(y\) 与 \(x-py\) 不互质：
　　　　设 \(y=nk\) , \(x-py=mk\) , 且 \(k>1\) （互质）
　　　　将 \(y\) 带入可得
　　　　\(x-pnk=mk\)
　　　　\(x=(pn+m)k\)
　　　　则 \(a=xc=(pn+m)kc\) , \(b=yc=nkc\)
　　　　那么此时 \(\gcd(a,b)=kc\ne k\)，矛盾！
　　　　所以 \(y\) 与 \(x-py\) 互质，\(\gcd(r,b)=c\)
　　　　即 \(\gcd(b,r)=c=\gcd(a,b)\)
　　　　得证！

　　当 \(a\%b=0\) 时， \(\gcd(a,b)=b\)

int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}

二、扩展欧几里得算法
　　扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等
　　引理：存在 \(x\) , \(y\) 使得 \(\gcd(a,b)=ax+by\)
　　证明：
　　　　当 \(b=0\) 时，\(\gcd(a,b)=a\)，此时 \(x=1 , y=0\)
　　　　当 \(b\ne0\) 时，
　　　　设 \(ax_1+by_1=\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)=bx_2+(a\%b)y_2\)
　　　　又因 \(a\%b=a-\frac{a}{b}\times b\)
　　　　则 \(ax_1+by_1=bx_2+(a-\frac{a}{b}\times b)y_2\)
　　　　\(ax_1+by_1=bx_2+ay_2-\frac{a}{b}\times by_2\)
　　　　\(ax_1+by_1=ay_2+bx_2-b\times \frac{a}{b}\times y_2\)
　　　　\(ax_1+by_1=ay_2+b(x_2-\frac{a}{b}\times y_2)\)
　　　　解得 \(x_1=y_2\) , \(y_1=x_2-\frac{a}{b}\times y_2\)
　　　　因为当 \(b=0\) 时存在 \(x\) , \(y\) 为最后一组解
　　　　而每一组的解可根据后一组得到
　　　　所以第一组的解 \(x\) , \(y\) 必然存在
　　　　得证！

　　根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法
　　先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0
　　再根据 \(x=y’\) , \(y=x’-\frac{a}{b}\div y’\)（\(x’\) 与 \(y’\) 为下一层的 \(x\) 与 \(y\)）得到当层的解
　　不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解

void exgcd(int a,int b)
{
    if(b)
    {
        exgcd(b,a%b);
        int k=x;
        x=y;
        y=k-a/b*y;
    }
    else y=(x=1)-1;
}

• 应用一：exgcd 解不定方程（使用不将 \(a\) 与 \(b\) 转为互质的方法）
  　　对于 \(ax+by=c\) 的不定方程，设 \(r=gcd(a,b)\)
  　　当 \(c\%r \ne 0\) 时无整数解
  　　当 \(c\%r=0\) 时，将方程右边 \(\times r\div c\) 后转换为 \(ax+by=r\) 的形式
  　　可以根据扩展欧几里得算法求得一组整数解 \(x_0\) , \(y_0\)
  　　而这只是转换后的方程的解，原方程的一组解应再 \(\times c\div r\) 转变回去
  　　则原方程解为 \(x_1=x_0\times c\div r\) , \(y_1=y_0\times c\div r\)
  　　通解 \(x=x_1+b\times r\div t\) , \(y=y_1-a\times r\div t\) ，其中 \(t\) 为整数

• 应用二：exgcd 解线性同余方程
  　　关于 \(x\) 的模方程 \(ax\%b=c\) 的解
  　　方程转换为 \(ax+by=c\) 其中 \(y\) 一般为非正整数
  　　则问题变为用 exgcd 解不定方程
  　　解得 \(x_1=x_0\times c\div r\)
  　　通解为 \(x=x_1+b\div r\times t\)
  　　设 \(s=\frac{b}{r}\) （已证明 \(\frac{b}{r}\) 为通解的最小间隔）
  　　则 \(x\) 的最小正整数解为 \((x_1\%s+s)\%s\)