《更好的解释（数学篇）》——第十章

原文：http://betterexplained.com
原文作者：Kalid Azad
译文转载自：http://blog.gosin.me/2011/04/162/
译文作者：Gosin

理解指数

我们知道指数就是重复的乘法。这是个很好的介绍，但是它不能解释3^1.5 ，同样也无法让人理解0⁰ 。你怎么能说清楚让0乘以自己0次然后就得到1了。

你不能，当你把指数解释为重复的乘法时你就没法解释。今天我们就要把这个模型做一次升级。

 

 

10.1 把算术看作是变换

让我们再退回去看看——我们是怎么学习算术的？我们知道数字是指一些东西的个数（手指），加法就是把这些个数组合起来（3+4＝7），而乘法就是重复的加法（2×3＝2+2+2＝6）。

这种解释在约整数身上很正确。但是用在像-1与根号2这类数字上就比较奇怪了。为什么呢？

我们的模型并不完整。数字不只是个数；更好的观点是吧它们当作直线上的一点。这个点可以是负的（-1），也可以是其它数（根号2），或者是在另一个维度（i）。

算术就是对数进行变化的一种一般方法。加法就是沿着数轴进行移动（+3就是向右移动三个单位），乘法就是按比例缩放（×3就是放大三倍）。

那么指数是指什么呢？

10.2 进入“创世界”（Expand-O-Tron）

先让我介绍一下创世界3000 。

 

是的，这台设备看起来像是一台劣质的微波炉——但是它并不是用来加热食物而是用来使数字增长的。输入一个数字，它就产生一个新的数。以下是整个过程：

• 以1.0开始
• 设置1秒后的增长倍数（2×，3×，10.3×）
• 设置增长的时长
• 按下开始键

太上老君如律令，快变！铃声响起，然后我们就得到了新鲜闪耀的数字。假设我们想把1变为9：

• 在“创世界”中输入1.0
• 设置增长倍数为“3×”，时间为2秒。
• 按下开始键

我们按下开始后，数字就开始发生变化：我们看到1.0，1.1，1.2，……就在第一秒刚刚结束的时候，我们得到了3.0.然后继续增长：3.1，3.5，4.0，6.0，7.5……然后就在第二秒结束的时候我们得到了9.0 。我们看到了闪亮的新数字。

从数学角度来讲，“创世界”（指数函数）是在做：

原始数字·增长率^时间 ＝新数字

或者是

增长率^时间 ＝新数字/原始数字

举例来说，3² ＝9/1 。底就是每单位增长的量（3×），而指数就是增长的时间（2）。2ⁿ 这样的公式就是说“使用’创世界‘以2倍的增长率增长n秒”。

记住，在“创世界”中我们总是以1开始，然后来观察每单位的变化。如果我们想看看以3开始会发生什么，我们只需放大结果就可以了，举例如下：

• “以1开始，增长3秒”就是说1·2³ ＝1·2·2·2＝8
• “以3开始，增长3秒”就是说3·2³ ＝3·2·2·2＝24

每当你看到一个普通的指数时（比如说2³），那就是暗示它是以1开始，以2倍的增长率增长3秒所达到的值。

10.3 理解指数缩放因子

当我们做乘法运算时，我们可以表明最终的缩放因子。希望它有八倍大，乘以8就搞定了。

指数有些过于……苛求了：

你：我想增长一个数字。

创世界：好的，把它放进来吧。

你：它会有多大呢？

创世界：老兄，我现在不知道啊，让我们走着瞧吧

你：走着瞧？我还以为你知道呢……

创世界：嘘！！！它在增长，在增长！

你：……

创世界：好了，看看我的杰作吧！

你：我现在可以走了吗？

“创世界”是间接的。看看它，你都不知道它会做出什么：3¹⁰ 最后是多少？你对此有什么感觉？不是直接完成比例系数，指数希望你能去感觉，去重生，甚至是去闻闻增长的进程。不管最后是什么那都是你的比例系数。

听起来像是绕圈子。你知道为什么吗？自然界中的许多事物都不知道将在何时终止！

你认为细菌知道每24小时翻一倍吗？肯定不知道——它只知道尽快吃掉你忘在冰箱里的面包，然后尽快的让菌斑快速生长起来（当然，这纯属假设）。为了预测这种行为，我们输入它们生长的速度，还有它们生长的时间，然后得出它们最后的总量。

肯定能得到一个答案——指数就是一种“给定初始条件，开始改变，然后看它结束时的量”的说法。“创世界”（我们的计算器）可以完成这种计算。总之总得有人完成这些计算。

10.4 理解分数幂

让我们看看“创世界”能否帮助我们理解指数。首先：2^1.5 是什么意思呢？

当我们把指数看作连续相乘时，这个问题就让我们很疑惑。但是“创世界”让它变得简单：1.5只是在这台机器中需要的时间罢了。

• 2¹ 就是说在这台机子中1秒的时间（增长了2倍）
• 2² 就是说在这台机子中2秒的时间（增长了4倍）

所以2^1.5 就是在这台机器汇总1.5秒，最后就是增长了2到4倍之间。而那个“重复计数”的想法则把我们困在了整数中。

10.5 指数相乘

如果是让两次增长紧接着发生会怎样呢？就是说我们先用上这台机器2秒，然后紧接着又使用3秒：

x² ·x³ ＝？

想想你家用的微波炉——这不就是连续使用5秒吗？确实是这样。这样底保持不变，我们就可以把时间相加：

x^y ·x^z ＝x^y+z

再一次的，“创世界”给了我们一个缩放因子来改变数字。为了得到两次连续使用的总效果，我们只需把时间相加就可以了。

10.6 平方根

让我们继续前进。假设我们有幂为a，增长3秒：

a³

不算太坏。如果增长一半的时间会是什么结果呢？就是1.5秒：

a^1.5

如果我们把这个过程做上两次会是什么结果呢？

a^1.5 ·a^1.5 ＝a³

换言之就是：部分增长×部分增长＝总增长。

看看这个方程，我们看到“部分增长”就是总增长的平方根！如果我们把时间除以二就得到了它的平方根。如果我们除以3呢？

a¹ ·a¹ ·a¹ ＝a³

或者：部分增长×部分增长×部分增长＝总增长

我们得到了立方根！对我来说，这就是指数相除就可以得到根的直观化理由：我们把时间分成了相等的部分，所以每一个“部分增长”的效果都一样。如果是三个相同的效果相乘，那就是说它们都是立方根。

10.7 负指数

我们继续深入——负指数是什么意思呢？“负秒”就是让时间倒流！如果时间倒流的话，原数值也应该随之缩小：

2^-1 ＝1/2¹

这就是说“1秒以前，我们有现在值的1/2”。事实上，这只是任何指数图像的一部分而已，比如说2^x ：

 

任选一个点，比如说3.5秒（2^3.5 ＝11.3）。向前一秒现在的数值就会翻倍（2^4.5 ＝22.5）。向后一秒我们就得到了现在数值的一半（2^2.5 ＝5.65）。

这对任何数字都适用！即使是在我们的双倍增长曲线的一百万的那个点处，我们也只不过是在它500000秒之前而已。

10.8 指数为零

让我们再看看比较麻烦的一部分：3⁰ 意味着什么呢？我们给机器设置了3倍的增长率，然后使用了0秒。0秒就意味着我们没有使用这台机器！

我们新的值与旧的值完全一样（新＝旧），所以比例系数就是1。0指数就是说没有变化。比例系数始终为1。

10.9 如果以0为底

我们如何解释0^x ？因为增长率为“0倍”——一秒之后，“创世界”就会把最初始的值给抹为0。但是如果我们在1秒后抹掉了数值，那么以后的任何时间都为0：

0^1/n =0¹ 的n次根＝0的n次根＝0

无论我们列举的指数有多小，它们都是0的某次根而已。

10.10 0的0次指数

最后，是令人畏惧的0⁰ 。它的含义是什么呢？让“创世界”来帮助我们吧：

0⁰ 就是说以0倍增长0秒！

即使我们打算抹掉这个数字，但是我们根本没有使用这台机器。没有使用就是新的＝旧的，而缩放系数是1。所以0⁰ ＝1·0⁰ ＝1·1＝1——它并没有改变什么，谜题解开了！

（对于数学家来说：定义0⁰ ＝1可以让很多理论很自然的建立起来。在现实生活中，0⁰ 要根据具体情况来判断（是连续的还是分立的）。类比微波炉并不严谨：但是它帮助我们理解0⁰ ＝1为什么合理，而“重复相乘”做不到这一点。）

10.11 高级：重复指数（a到b然后再到c）

重复指数需要一些技巧。下面该式表达了什么呢？

（2^a ）^b

它表示“重复相乘，再重复相乘”——换言之就是“指数一次后再指数一次”，把它分解开来：
（2³ ）⁴

• 首先，我希望先翻倍增长3秒（2³）
• 然后，不管新数字是多少（8倍），我希望它按照那个倍数增长4秒（8⁴）

第一个指数（³）就是取“2”然后自乘3次。第二个指数（⁴）就是把之前的数字自乘4次。

（2³ ）⁴ ＝2³ ×2³×2³×2³ ＝2^3+3+3+3 ＝ 2¹²

重复计数帮助我们明白现在的处境。但是当我们继续使用“创世界”进行类比后：我们第一次增长3秒，然后第二次再增长4秒。“创世界”同样可以使用分数：

（2^3.1 )^4.2

这就是说“先增长3.1秒，然后使用新数值增长4.2秒”。最后我们可以把它们合到一起（3.1×4.2）：

（a^b ）^c ＝a^b·c ＝(a^c )^b

重复指数有些奇怪，所以我们还是举些例子：

• （2¹ ）^x 就是指“以2倍增长1秒，然后再按这种增长倍数增长x秒”。
• 7＝（7^0.5 ）² 就是说我们可以直接到达7，也可以，我们可以先用一半的时间增长到根号7，然后再把这个过程进行2秒，就得到了7。

我们就像孩子一样学习7×3＝3×7。

10.12 高级：为增长者重写指数

“创世界”有点怪：数字只要一进去就开始变化，但是我们想在每一秒结束时指定不同的增长倍率。

假设我们想在第一秒结束时有2倍的增长。但是我们怎么知道开始时的增长率是多少呢？0.5秒的时候应该有多少呢？肯定不是完整值，否则我们就会计算出到超过实际的复利。

这就是关键点：写作2^x 的增长曲线是以观察者的角度来看的，而不是增长者。

“2”是根据每个时间间隔后的结果来决定的，我们倒回去创造了这个指数（哦，这就像你在以2^x 在增长一样）。这样做会让我们看起来很舒服，但是对增长数量来说可就不好了——细菌，放射性元素还有金钱可不会对准我们设置的间隔！

自然不会这样，这些家伙只知道它们现在的，当下的增长率，它们不会想去如何对齐我们设置的边界。这就像理解角度与弧度一样——弧度很“自然”因为它是从运动者的角度去考察的。

为了以增长者的角度考察这个问题，我们引入神奇的数字e。这其中有太多东西可讲，但是我们在这里只是把“基于观察者”的方程比如说2^x转化为“基于增长者”的方程：

2^x ＝（e^ln（x） ）^x ＝e^ln（2）x

在这个例子中，ln（2）＝0.693＝69.3%就是当下的增长率，当你问“创世界”每个周期2结束时2倍的增长是多少时，它就会回答以69.3%增长。

还有更多的细节有待挖掘，但是记住：

• 当下的增长率是由细菌自己控制的。
• 每个时间间隔的总体增长率是由观察者测定的

从本质上说，任何指数曲线都可以化为e^x 的某个比例的版本：

a^x ＝（e^ln（x） ）^x ＝e^ln（a）x

任何指数都是e的一个变化，就像任何一个数都是1的倍数一样。

10.13 为什么要进行类比？

真的有“创世界”吗？所有的数字真的集中在一条直线上吗？不实的——它们是观察世界的一种方法。

“创世界”去除了对待2^1.5 甚至是0⁰ 次时的一些问题。这样一来从计算尺到欧拉公式都可以按照增长这个主题来看待——即使是像iⁱ 这样的野兽也可以被驯服。

不要让你的朋友们还在认为指数仅仅是重复相乘了。希望你能享受到快乐的数学。