《更好的解释（数学篇）》——第八章

原文：http://betterexplained.com
原文作者：Kalid Azad
译文转载自：http://blog.gosin.me/2011/04/162/
译文作者：Gosin

自然对数（ln）

前一个章节我们在理解指数函数；接下来我们的目标是自然对数。

数学中给定的自然对数的定义，其中有着“自然”的一部分：它被定义为e^x 的反函数。虽然e^x 本身就够奇怪了。

但是还有一种新鲜的，更加直观的解释：自然对数告诉你增长到一定值需要花费多少时间。

假设你投资了干贝熊软糖（谁没有啊？），其中利润率为100%，连续增长。如果你想获得十倍的收入，假设它是按照复利计算的，那么你只需要ln（10）也就是2.302年就可以达到这一目标。不明白为什么这么多年就可以得到10倍的回报？再读一读前一章吧。

e跟自然对数是双胞胎：

• e^x 是连续复合增长经过一段时间后所达到的数值。
• 自然对数ln是达到一定值，连续增长所需要的时间。

这个结果不错吧？当数学家们用冗长的，技巧化的解释让你困惑的时候，还是让我们继续深入到这个直观化的解释中去吧。

 

8.1 e是关于增长的

数字e是关于连续增长的。正如我们之前所了解到的，e^x 让我们把时间与增长率结合起来：连续复合增长的情况下，100%的增长率经过三年跟300%的增长率经过一年的效果一样。

我们可以使用任何时间与增长率的组合（50%的增长率增长4年），而且可以转化为更舒服的100%的增长率（100%的增长率增长两年就可以了）。把增长率转化为100%后，我们只需要考虑时间就可以了：

e^x ＝e^{增长率·时间} ＝e^1·时间 ＝e^时间

直观化的看的话，e^x 就是：

• 经过x单位时间后能增长多少（以100%的增长率进行连续增长）
• 举个例子：三个单位时间后就原来东西可以增长到e³ ＝20.08倍多。

e^x 就是一个比例系数，它告诉我们经过x单位时间后东西可以增长到多少。

8.2 自然对数是关于时间的

自然对数正好与e相反，一种非常好的形式。说到非常好，ln就是拉丁文logarithmus naturali的缩写。

现在让我们来看看相反意味着什么？

• e^x 让我们通过时间计算增长
• ln（x）让我们通过增长计算所耗时间

举例如下：

• e³ 是20.08。经过3个单位时间后，我们得到了原来的东西的20.08倍。
• ln(20.08)大约等于3，如果我们想增长到20.08倍，那么我们就需要等3个单位时间（注意，我们假设连续增长率为100%）

通过我？自然对数告诉我们增长到一定值需要花费多长时间。

8.3 对数运算并不普通

你之前学过对数，它们确实很奇怪。它们怎么会把乘法变为加法？除法变为减法呢？让我来仔细看看。

ln(1)等于多少呢？直观看来，这个问题就是：我花多长时间能增长到1倍大小呢？

0.你现在已经是1倍大小了！从1增长到1并不需要花任何时间。

ln(1)=0

Ok，如果是一个分数呢？如何增长到现在的1/2呢？假设你的连续增长率是100%，我们知道ln(2)就是增长两倍所需要花费的时间。如果我们把这个过程反过来（比如说取负时间），我们就得到了一半的值。

ln(0.5)=-ln(2)=-0.693

明白了吧？如果我们往回看（负时间）0.693秒，我们就得到了现在一半的值。一般来说，你可以把分数翻转然后取负即可：ln(1/3)=-ln(3)=-1.09。这就是说如果时间往回1.09个单位，我们就得到了现在值的1/3。

Ok，如果是一个负数的自然对数呢？细菌从1增长到-3需要花费多长时间呢？

这是不可能的！你能有“负数”个细菌吗，不能吧？你最多（最少）也就是有0个细菌，但是你没办法拥有负数个细菌吧。负数个细菌没有任何意义

ln(负数)＝无定义

无定义意味着“没有一个时间供你等待”其增长到负数（在欧拉公式中我们还将讨论这一问题）。

8.4 对数乘法乐趣多多

花多长时间可以增长到现有值的四倍呢？没问题，我们只需要计算ln(4)就可以了。但是这太简单了，让我们增加点难度。

我们可以把4倍看作是翻倍一次（花费ln(2)的时间一次），然后再翻倍一次（再花费ln(2)的时间一次）：

• 增长到四倍所需要的时间＝ln(4)=两次翻倍所用的时间＝ln（2）+ln（2）

有意思吧。任何增长值，比如说20，可以看作是翻倍一次然后再十倍一次，也可以看作是4倍一次再五倍一次。或者是3倍一次，然后再6.66666倍一次。看到其中的规律了吗？

ln(a·b)＝ln（a）+ln（b）

a乘以b的对数＝log(a)+log(b)。当你把它们当作增长需要的时间后就很容易想通了。

如果我们想增长到30倍，我们可以直接等ln（30）长的时间，也可以先等ln（3）长的时间让它增长到3倍，然后再等ln（10），再让它增长十倍。最终效果是一样的，所以最终花费的时间也是一样的（事实确实如此）。

那么除法呢？ln（5/3）就是说：增长到5倍，然后只取其中的三分之一需要花费多长时间呢？

好吧，增长到5倍需要花费的时间是ln(5)。增长1/3花费的时间就是-ln(3)。那么结果就是：

ln（5/3）=ln(5)-ln(3)

这就是说：增长5倍所用的时间，然后时间再往回退，知道达到1/3的增长，最后你还有5/3的增长。更一般化的表述就是：

ln(a/b)=ln(a)-ln(b)

我希望现在你能理解奇怪的对数运算：乘法就是把时间相加，除法就是把时间减去。不要去背诵规则，而是要理解它们。

8.5 使用任何增长率的自然对数

“是的，”你可以说，“这些关于对数的东西对100%的增长率适用，对50%的增长率呢？”

完全没有问题。我们在ln（）中使用的“时间”其实是时间与增长率的组合，x来自于我们的e^x 方程。我们假设为100%只是为了简单，但是其实我们可以使用其它数字。

假设我们希望达到30倍的增长：带入方程中就是ln(30)，结果是3.4。这就是说：

e^x ＝增长

e^3.4 ＝30

直观化的看这个方程是以100%的增长来考虑的。

但是我们也可以这样看这个方程：

e^x ＝e^{增长率·时间}

e^100%·3.4年 ＝30

我们可以修改“时间”与“增长率”，就以时间×增长率＝3.4为例，我们可以有：

• 100%的增长率增长4年＝3.4·1.0＝3.4
• 200%的增长率增长2年＝1.7·2.0＝3.4
• 50%的增长率增长6.8年＝6.8·0.5＝3.4
• 5%的增长率增长68年＝68·0.5＝3.4

很酷吧？自然对数可以适用于任何增长率与时间，只要它们的乘积相同。你可以随意调整这些变量。

8.6 非常棒的例子：72法则

72法则（http://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_72）是一种快捷的心算法来帮助你计算花多少时间可以让你的钱翻倍。我们将把它衍生一下，甚至让它更好，我们以一种更直观化的角度来理解它。

在100%的增长率下按年进行复合增长，需要花多长时间可以让你的钱翻倍呢？

哦，之前我们的讨论一直是局限在连续的增长，现在你要让我计算年利？这不会让我们的公式变得更麻烦吗？对，确实会这样，但是但是在一些利率下，比如说5%，6%甚至是15%，年利与连续利息其实并没有太大不同。所以一个大概的公式就可以了，在一种粗略的情况下我们把它们当作完整的连续增长就可以了。

现在问题就很简单了：在100%的增长率时我们需要花多长时间才可以翻倍？ln(2)=0.693。大概就是0.693个单位时间（在这里是一年）吧就可以让你的钱翻倍了。

Ok，如果我们的增长率不是100%而是5%或10%呢？

很简单。只要时间×增长率＝0.693，我们的钱就会翻倍：

时间·增长率＝0.693

时间＝0.693/增长率

那么，如果我们只有10%的增长率，只需要计算0.693/10%也就是6.93年就可以让我们的钱翻倍。

为了做一些简化，让我们乘以100，这样就可以避免0.1而可以讨论10了

• 翻倍所用时间＝69.3/增长率，这里假设增长率用百分数表示

那么5%的增长率下，翻倍所用的时间就是69.3/5也就是13.86年了。然而69.3并不容易进行除法。让我们就选择一个与它很接近的数来代替，比如说可以被2，3，4，6，8等整除的72吧。

• 翻倍所用的时间＝72/增长率

这就是72法则！很简单吧。

如果你想知道花多少时间能让你增长到3倍，你只需用ln(3)约等于109.8，这样你就可以得到：

• 增长三倍所用的时间＝110/增长率

这又是一个很有用的法则。72法则在利率计算，人口计算，细菌培养以及其它涉及到指数增长的方面都有很广泛的用处。

8.7 从这里可以到哪里呢？

我希望自然对数能有更多意义——它告诉指数增长增长到任一确定的值所需要的时间。我认为正是因为它是指数增长的一个通用数值，所以它才被称为“自然”，那么ln就可以帮我们找出需要多少来增长的一个通用函数了。

当你看到ln(x)时，只要想到“增长到x所要用的时间”就好了。

8.8 附录：e的自然对数

小谜题：ln(e)等于多少？

• 数学机器人告诉你：因为它们互为相反函数，所以很显然ln(e)=1
• 具有直觉的人类：ln(e)就是增长到e（大概是2.718）所要花费的时间。但是e是经过一单位时间所能增长到的数值，所以ln(e)=1。

直观化的思考。