《更好的解释（数学篇）》——第七章

原文：http://betterexplained.com
原文作者：Kalid Azad
译文转载自：http://blog.gosin.me/2011/04/162/
译文作者：Gosin

指数函数与e

e经常让我感到困惑——不是指这个个字母，而是指这个数学常量。它是个什么东西呢？

数学书甚至是我深爱的维基百科都是用一种死板的专业术语来描述e：

数学常量e是自然对数的底。

当你去查询自然对数时，你会看到如下的解释：

自然对数，正式的名称叫作双曲线对数，是e的对数，而e是一个无理数，其值大约等于2.7182818248459。

很漂亮的循环引用。这就像辞典用拜占庭式的风格来定义迷宫一样的风格一样：正确但是并没有什么帮助。我们的常用词汇有什么问题呢？比如说“复杂的”。

我不是在挑维基百科的错——为了追求它们的“严格”，许多数学解释都是很乏味并且正式的，但是这并不能帮助初学者去能理解这些话题（我们都是或者曾是个初学者嘛）。

不要再这样了！今天我就跟你们分享一下我关于e的直观化的、更高层次的解释，看看它是怎么震撼你之前的认识的。以后再看你数学课本上的“严格”解释吧

 

7.1 e不只是一个数字

描述e就是“一个常数，它的值等于2.71828……”就像是说π是“一个无理数，它大概等于3.1415……”。是的，这样说没错，但是你完全忽略了其中的意义。

Pi是所有圆的圆周与长其直径的比。它是所有圆都具有的一个基础性的比，因此它也广泛适用于圆周长的计算，面积，体积还有圆球的表面积，球体，圆柱体等等。Pi很重要，不只是与所有的圆有关，还有从中衍生出来的三角函数（Sin，Cos，Tan等）。

e是所有连续增长过程中所共有的基本增长量。e让你在一个简单的增长率中（这种增长每年底结算一次）发现连续的、复合计算的、在每分每秒甚至更短的间隔内一直增长的巨大影响，即使时每时每刻只增长一点。

e出现在任何连续的进行指数增长的系统中：人口，放射性衰变，利息计算以及其它系统中。即使是在不连续的增长系统中也可以近似使用e来表示。

正如所有数字都可以看作是1（基本单位）的“倍数”那样，所有圆也可以看作是一个单位圆（半径为1）的“倍数”，所有的怎张都可以看作是e（一单位的增长率）的“倍数”。

所以e不是一个模糊不清的数字。e代表了所有连续增长的系统共有的一个增长率。

7.2 理解指数增长

让我们先来看一个经过一段时间后正好翻倍的基本系统。举例如下，

• 细菌可以进行分裂，而且每24小时就可以翻一倍。
• 我们每次把面条对半一份就可以得到翻倍的面条
• 如果你的钱可以收入100%的回报那么它们每年就可以翻一倍（很幸运啊！）

它们看起来就像是：

 

分成两份或者是翻倍是一个很常见的过程。没错，我们可以翻两倍或者是翻三倍，但是翻倍处理起来舒服些，我们先处理这个。

数学上，如果我们让x分裂，那么我们最后会得到2^x 个多的“东西”。1分裂后我们可以得到2¹ 或2倍多的东西。4分裂我们可以得到2⁴ ＝16倍的东西。写成方程式如下所示：

增长＝2^x

换言之，就是100%的增长率，我们可以把方程式写成如下的形式：

增长＝(1+100%)^x

它们是完全等价的方程式，但是我们把“2”分开到底是什么呢：原始的数值（1）再加上100%。很聪明吧？

当然，我们可以用其他数值（50%，25%，200%）来代替100%，那样我们就得到了新的增长率公式。所以更一般的方程式可以写成：

增长=(1+增加的部分)^x

这就是说我们把（1+增长的部分）自乘了x次。

7.3 更详细的探讨

我们的公式假设我们的增长发生在一定的间隔之后。细菌在等待，等待，然后就激增，它们在最后一分钟翻倍了。我们的利息就在一年的时候突然就有了。根据以上的公式，增长是间断的，然后瞬间就增长了。那些绿的点突然就冒出来了。

但是真实的世界并不是这样的。如果我们放大查看的话，我们就会发现我们的细菌朋友每时每刻都在增长：

 

绿色先生并不是突然出现的：他从蓝色先生中慢慢成长起来，经过一单位时间后（在这个例子中是24小时），绿色先生完全长大了，它成了一个完整的蓝色先生，然后它又接着生出了它自己的绿色细胞。

这个细节改变了我们的方程式了吗？

没有。在细菌的例子中，处于一半形态的细菌还什么都不能做，直到它们完全长大，并且脱离了它们的父母。方程式仍然适用。

7.4 有钱能使鬼推磨

但是对于钱来说就不一样了。我们可以马上赚到5毛钱的利润（译者在这里做了恶搞修改，放心，这不会影响讨论^_^），这个5毛可以产生自己的5毛。我们不需要等到有了1元的利息后再产生新的利息——新钱不需要老钱来生成。

根据我们之前的方程式，利息的增长看起来应该是这样的：

 

但是再一次的，这也不是很准确：所有的利息都是直到最后一天才出现的。让我们把它放大，然后把一年分为两半。我们每年都赚到100%的利息，也可以说我们每六个月赚到50%的利息。那么，我们前半年赚5毛，后半年又赚5毛：

 

但是这样还是不准确！是的我们原来的一元（蓝色先生）经过一年后又赚了一元。但是半年后我们又有了五毛，准备好了，我们忽略了一部分！那就是那个五毛也可以产生自己的利润：

 

因为我们的增长率是每半年增长50%，那么那个五毛可以赚到0.25元（5毛乘以50%）。一年之后我们就有：

• 我们最开始的一元钱（蓝色先生）
• 最开始的一元钱赚到的钱（绿色先生）
• 还有绿色先生赚到的0.25元（红色先生）

总共有2.25元。我们从我们最开始的钱中赚到了1.25元，比翻倍还要多！

用公式表达出来，按照50%计算的两段时间内的增长率是：

增长＝(1+100%/2)² =2.25

7.5 继续深入到复合增长率中

是时候让我们更进一步了。不再是把增长分在两个时期中，其中各50%，让我们把它分成3份，每份33%的增长绿。谁说我们只有等到半年后才能开始获得收益？让我们把它们分得更细一些。

用图表把这个表示出来就很有趣了：

 

把每种颜色当作一部分另一种颜色所生的孩子，1/3的时间内：

• 刚开始时：我们从蓝色先生开始，我们只有1元钱
• 第四个月：蓝色先生赚到了1/3的钱，而且它生出了绿色先生，有0.33元。
• 第八个月：蓝色先生有赚到了0.33元给了绿色先生，绿色先生现在又0.66元，绿色先生这时也赚到了0.11元，这就是红色先生。
• 第十二个月：情况开始变得更复杂了。蓝色先生又赚了0.33元给了绿色先生，绿色先生现在正好有1元钱。而绿色先生也赚了0.22元，现在红色先生总共有0.33元，而红色先生最开始有0.11元，现在它也赚了0.04元，这就是紫色先生了。

嗖！经过一年后，最后我们有：1+1+0.33+0.04，大概有2.37元。仔细想想这是怎么发生的吧：

• 每个颜色都产生自己的利润，并把它交给另一种颜色。新的颜色在下一个周期便可以产生自己的利润。
• 我喜欢把最开始的钱当作始终没有变化。蓝色部分产生钱给绿色先生，每四个月固定产生0.33元给绿色先生。在图表中有个箭头表示蓝色先生是怎样把钱给绿色先生的。
• 绿色先生把自己产生的钱给了红色先生，而这其中没有蓝色先生的贡献。
• 随着时间的增加，绿色先生也在增长（而蓝色先生一直保持不变），他给红色先生越来越多的钱。在第四个月到第八个月之间，绿色先生给了红色先生0.11元，而在第八个月到第十二个月之间，绿色先生有.66元，所以它给了红色先生0.22元。把图表展开，绿色先生总共给了红色先生0.33元，而绿色先生则拥有整整一元钱。

明白了吧？刚开始时可能难以理解——我把图表整合在一起时自己甚至也有些迷糊了。但是明白了每部分钱产生自己的钱，然后它们又产生自己的钱，如此周而复始，我便明白了。

分为3个周期后我们就可以得到如下的增长方程式：

增长＝(1+100%/3)³ =2.37037……

我们赚到了1.37元，比之前的1.25元更多！

7.6 我们可以赚到无限多的钱吗？

为什么不取更小的时间间隔呢？如果换为每个月，每天，每小时，甚至是每个毫微妙呢？我们会马上称为亿万富翁吗？

我们的收入会增加，但是会达到一个固定的点。试着把之前的方程式换成其它的值，看看结果：

 

数字变得更大，但是最终会集中在2.718附近。嘿……等等……这个好像就是e啊！

没错！用专业术语表示就是，e是在足够小的时间间隔内按照100%复合增长的增长率：

 

这个极限最终将集中在一个点，这个可以进行证明。但是正如你所看到的，我们可以取更小的数字来发现它确实集中在2.718附近。

7.7 这又意味着什么呢？

数字e（2.718……）代表了在一段时间内按照100%进行复合增长所能达到的最大增长率。没错，当初你只是期望从1增长到2而已。但是每一小步，你所创造的收益又会产生自己的收益。当这些结束后，你在一段时间内从1增长到了e（2.718），而不是2.

那么，如果我们从1开始以100%进行复合增长，那么我们将得到1e。如果我们以2开始就得到2e，以11.79开始就得到11.79e。

e就像是最高时速限制（就像光速c），告诉我们在一个连续的复合增长中所能达到的最快速度。

7.8 如果是不同的增长率呢？

问得好！如果我们每年增长50%而不是100%呢？我们还能适用e吗？

让我们看看。50%的复合增长会是这样：

 

 

我们可以怎么做呢？好吧假设1%分为了50份：

 

没错，这个并不是无限的，但是也够多了。假设我们把通常的100%的增长分为1%大小：

 

啊哈，有些东西在这里融为一体了。在我们的一般例子中，我们等于是把1%累加了100次，在50%的案例中，我们把1%累加了50次。

 

这两个数字间有什么区别呢？好吧，只是改变了一半而已：

(1+0.01)⁵⁰ =(1+0.01)^100/2 =((1+0.01)¹⁰⁰ )^1/2 =e^1/2

这就很有趣了。50/100＝0.5，而e的指数正好也是0.5.推广到一般情形：如果我们的增长率换为300%，我们就可以把300%分为1%一份。最后我们就会得到e³ 。

即使增长率看起来像加法（+1%），但是我们必须切记它其实是乘法（×1.01）。这就是为什么要使用指数（连续的自乘）以及平方根（e^1/2 就是说只改变了一半，举例来说就是一半的乘法）

即使我们选择1%，但是我们还可以选择其它更小单位的怎张（0.1%，0.00001%甚至是无穷小！）关键在于无论我们取何值，都只是e有一个新的指数而已：

7.9 如果是不同的时间间隔呢？

假设我们300%的增长在两年后是多少呢。我们把每年的增长乘以它自己便得到：

增长＝(e³ )² =e⁶

更一般化的表示就是：

增长＝（e^增长率 ）^时间 ＝ e^{增长率·时间}

因为神奇的指数，我们避免了处理幂而直接在指数中把增长率与时间相乘就可以了。

7.10 玄机：e使增长率与时间结合在一起

这很疯狂！e^x 可以把它们合并在一起：

• x就是我们计算增长的时间：每年增长100%，3年后就是e³
• x就是增长率：一年增长300%就是e³

这个不会让它俩发生混淆吗？我们的方程式会失效，世界会毁灭吗？

它们完全可以在一起，当我们写下：

e^x

x其实就是增长率与时间的组合：

x＝增长率·时间

让我解释一下。处理复合增长时，每年增长3%，增长十年与一年增长30%的效果一样，不考虑之后的效应。

• 每年增长3%，增长1年。就是说1%累计了30次。这些变化发生在十年的时间内，每年连续增长3%。
• 一年增长30%，也是说1%累计了30次。只不过是发生在一年之内，一年就改变了30%。

每个例子其实都是说“1%累计了30次”。你的增长率越大所花费的时间越少，增长率越小，你所花费的时间越长。

但是在两个例子中，最终的增长率都是e^0.3 ＝1.35。我们更倾向于在短时间内获得更大的增长，但是e告诉我们，其实它们都一样。

所以，我们的公式变为：

增长＝e^x ＝e^r·t

如果我们在时间t内的增长率是r，那么我们的净增长就是e^r·t 。即使是对负数与分数，这个公式依然成立。

7.11 示例时间

示例让许多事情变得更有趣。小提示：我们通常喜欢使用2^x 或其它常规的式子，遇到复合增长感到困惑其实很正常（包括我在内）。稍后我们将遇到各种简单的连续复合增长的例子。

这些例子都是指连续的平滑增长，而不是“跳跃性”的增长，比如说按年增长。可以把它们进行转化，但是这不是这里所要讨论的。

示例1：宝石生长

假设我有一个300Kg的魔力宝石。它们之所以被称作魔力宝石是因为它们每天都在生长：一个宝石，经过一天之后，会产出一个跟它重量相等的宝石。而新的宝石刚一产出就开始生长，但是我不可能追踪这些细节——我更关注最开始的那个宝石能生出多少宝石。十天之后我有多少呢？

首先这是一个相当需要技巧的例子：我们的每天的增长率是100%，而我们想知道10天之后的复合增长率是多少。每个宝石只知道100%（“每过24小时我要产生一个与自身重量相等的宝石”），而最终复合增长有多少（“那些宝石是你生出来的？呃，是它们自己生出来的”）

e就是那个神奇的变化因子：每天增长100%，那么十天之后就有：300·e^1·10 ＝660万多公斤宝石。

在大多数情况下，我们通常不知道最开始的基本增长率是多少（e^100% ，距离来说，我们纸知道一天之后1个宝石变为2.718个宝石），但是使用自然对数ln我们可以推出最初的增长率（这个例子中为100%）。

示例2：最大利率

假设我有120元，按照5%的利率计算。我的银行很慷慨，给了最大的复利。10年之后我能赚多少钱呢？

利率是5%，而我很幸运可以连续计算复利。十年之后，我就有120·e^0.5·10 ＝197.85。当然，大部分银行不可能给你这么好的福利。你实际的收入与你想象的连续收入的差别取决于他们有多不喜欢你。

示例3：放射性衰变

我有10公斤的放射性物质，它们每年都以100%的速度进行连续性衰变（这就是说，每年它们都要10公斤每年的速度进行衰变），3年后我还有多少呢？

0？没有了？再想想。

我们刚开始的速度是每年100%，是的，我们刚开始有10公斤，然后预期一年后它将一点不剩。

但是猜猜这个：几个月后，我们有5公斤。还剩下多少时间呃？从我们以“10公斤每年”开始后还有半年。

不是！我们现在有5公斤，我们现在的速度是5公斤每年，所以我们从现在开始还有整整一年呢！

再过几个月等到它衰变到2公斤后。看看会发生什么呢？我们的衰变速率变为2公斤每年，所以我们接下来又有整整一年。剩下1公斤时，我们又有一年，剩下0.5公斤时我们又有一年——看到其中的规律了吗？

随着时间的流逝，我们的物质发生衰变，但是衰变的速率也在减少。这个持续变慢的衰变过程就是持续复合增长的方面。

3年后，我们还有10·e^-1·3 ＝0.498公斤。正如我们所看到的我们在衰变中使用了一个负指数：

• 负增长率（减少）。负指数就等于给了一个分数（1/e^r·t）来减少
• 负时间。一个负指数就像是让时间倒流；不再是看10如何增长到0.498，而是看10如何变回0.498.

负指数就是另一种改变：不再是增长而是减少。

更多例子

如果你想看些更惊艳的例子，试试Black-Scholes期权定价公式（注意e在其中作为一个价值指数减少）或是放射性衰变吧。我们的目标就是看e^r·t 在公式中的作用，以及理解为什么会有它：它就是增长的或减少的模型。

你现在明白为什么是e而不是π或其它数字：e中有“r·t”，它告诉你增长率与时间是如何产生影响的。

7.12 还有更多东西需要去学习

我的目标就是：

• 解释e为什么很重要：这是一个基本常数，就像π一样，它告诉我们关于增长的东西。
• 给出一个直观化的解释：e让你看到各种不同增长率所产生的影响。即使是新的部分（绿色先生，红色先生等等）也可以在总增长中做出自己的贡献。
• 展示它是如何应用的：e^rt 让我们可以预测各种增长率在不同时间段内的增长。
• 让你产生继续学习的兴趣：在接下来的章节中我会向你们展示更多关于e的性质

这只是一个开始——在一个章节中填充太多东西会让你我都感到很累。出去身上的灰尘，休息以下，准备学习e的邪恶双胞胎，自然对数吧。