7.10 枚举——最大公约数和最小公倍数问题

今天讲解一道数学中常见的最大公约数与最小公倍数问题，靠编程来实现。

题目描述

输入二个正整数x0，y0（2<=x0<100000，2<=y0<=1000000），求出满足下列条件的P，Q的个数。
条件：
1. P，A是正整数；
2. 要求P，Q以x0为最大公约数，以y0为最小公倍数。
试求：
满足条件的所有可能的两个正整数的个数。 

输入

每个测试文件只包含一组测试数据，每组两个正整数x0和y0（2<=x0<100000，2<=y0<=1000000）。

输出

对于每组输入数据，输出满足条件的所有可能的两个正整数的个数。
下面是对样例数据的说明：
输入3 60
此时的P Q分别为:
    3     60
    15   12
    12   15
    60   3
所以，满足条件的所有可能的两个正整数的个数共4种。

样例输入 Copy

3 60

样例输出 Copy

4

题解代码：

#include<iostream>

using namespace std;

int x0,y0;

//求最大公约数

int gcd(int x,int y){

    if(y==0) return x;

    else return gcd(y,x%y);

}

//求最小公倍数

int gbd(int x,int y){

    int q=gcd(x,y);

    int x1=x/q;

     

    return y*x1;

}

int main(){

    scanf("%d%d",&x0,&y0);

    int num=1;

    int a[100001];

    int i;

    for(i=1;;i++){

        num=i*x0;

        a[i-1]=num;

        if(num>y0) break;       

    }

    i--;

    int sum=0;

    for(int i1=0;i1<i;i1++){

        for(int i2=i1+1;i2<i;i2++){

             

            if(gcd(a[i1],a[i2])==x0&&gbd(a[i1],a[i2])==y0){

                sum++;

            }

        }

    }

    printf("%d",sum*2);

    return 0;

}

题解思路：

思路比较简单，

1.写出求最大公约数的函数gcd和求最小公倍数的函数gbd,设置int型变量sum=0,来计算对数.

2.再分析可知，每一对元素的值必定在[x0,y0]中，每一对元素必定为x0的倍数,枚举出x0到y0间x0的所有倍数，建立a[]数组。

3.枚举a[i]元素中的每一位，令它与它之后的每一个元素比较，看是否gcd(a[i],a[j])==x0且gbd(a[i],a[j])==y0,若成立，则sum++;

4.最终将sum*2输出，这套算法时间复杂度为n*logn

解析gcd函数与gbd函数

求最大公约数函数gcd利用递归，在纸上模拟一下便可求出。

最小公倍数函数gbd先求出两个参数x,y的最大公约数q，求出x/q得到的商x1，用y*x1即为所求的最大公约数