ABC.E-DP题目集锦
ABC266E. Throwing the Die
题意：有 \(n\) 次扔骰子机会，每次随机扔到 \([1,6]\) 中的一个整数，每次扔完可以选择结束游戏（此时游戏结果为扔到的点数）或者再扔一次，求最佳策略下结果的期望。
设 \(f_i\) 表示有 \(i\) 次机会时的得分期望，则 \(f_i\) 可以由 \(f_{i-1}\) 转移而来：如果第一次扔到的值小于 \(f_{i-1}\)，那么继续游戏，答案为 \(f_{i-1}\)；如果大于 \(f_{i-1}\)，那么结束游戏，答案为当前扔到的值。
{% note success code: %}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long double g[110];
int main() {
int n;
cin>>n;
g[1]=3.5;
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=6;j++)
g[i]+=max((long double)j,g[i-1])/6;
printf("%.7Lf\n",g[n]);
return 0;
}
{% endnote %}
ABC265E. Warp
题意：平面直角坐标系，一开始你在 \((0,0)\)，每次可以从以下三种方向中选择一种移动：\((A,B),(C,D),(E,F)\)；有 \(m\) 个障碍物，第 \(i\) 个位于 \((x_i,y_i)\)，求不碰到障碍物的情况下走 \(n\) 步的方案数。
\(f[i][j][k]\) 表示走 \(i\) 步 1 操作、\(j\) 步 2 操作，\(k\) 步 3 操作的方案数，则
由于在每一层中 \(i+j+k\) 为定值，可以优化掉一维状态 \(k\)。
{% note success code: %}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int x[3],y[3];
int f[310][310];
pair<int,int> t[100010];
set<pair<int,int> > s;
int main() {
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<3;i++)
cin>>x[i]>>y[i];
for(int i=1;i<=m;i++) {
cin>>t[i].first>>t[i].second;
s.insert(t[i]);
}
f[0][0]=1;
for(int len=1;len<=n;len++) {
for(int i=len;i>=0;i--)
for(int j=len-i;j>=0;j--) {
int k=len-i-j;
int nowx=i*x[0]+j*x[1]+k*x[2];
int nowy=i*y[0]+j*y[1]+k*y[2];
auto tmp=s.lower_bound(make_pair(nowx,nowy));
if(tmp!=s.end()&&(*tmp)==make_pair(nowx,nowy)) f[i][j]=0;
else {
if(i>0) (f[i][j]+=f[i-1][j])%=mod;
if(j>0) (f[i][j]+=f[i][j-1])%=mod;
}
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=n-i;j++)
(ans+=f[i][j])%=mod;
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
{% endnote %}
ABC263E. Sugoroku 3
题意：有 \(n\) 个格子，第 \(i\) 个格子有一个 \([0,a_i]\) 的骰子，每到一个格子都会扔一次该格子的骰子，扔到几往前走几步，问走到 \(n\) 的期望步数。
\(f[i]\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 的期望步数，则
\(\sum\) 可以使用前缀和维护。
{% note success code: %}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int a[200010],inv[200010];
int f[200010],suf[200010];
int main() {
int n;
cin>>n;
inv[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
for(int i=1;i<n;i++)
cin>>a[i];
f[n]=suf[n]=0;
for(int i=n-1;i>0;i--) {
int x=(suf[i+1]-suf[i+a[i]+1]+1+mod)%mod;
f[i]=(1ll*x*inv[a[i]]+1)%mod;
suf[i]=(suf[i+1]+f[i])%mod;
}
cout<<f[1]<<endl;
return 0;
}
{% endnote %}
ABC253E. Distance Sequence
题意：问有多少个序列 \(a\) 满足 \(\forall 1\le i\le n,a_i\le m\) 且 \(\forall 1\le i<n,\left|a_{i+1}-a_i\right|\ge K\)
\(f[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 位，第 \(i\) 位为 \(j\) 的方案数，则
可以使用前缀和维护。
{% note success code %}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,m,k,f[1010][5010];
int s[5010];
int main() {
cin>>n>>m>>k;
for(int i=1;i<=m;i++)
f[1][i]=1,s[i]=(s[i-1]+f[1][i])%mod;
for(int i=2;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
f[i][j]=((s[max(j-k,0)]+s[m])%mod-s[min(j+k-1,m)]+mod)%mod;
if(!k) f[i][j]=(f[i][j]-f[i-1][j]+mod)%mod;
}
for(int j=1;j<=m;j++)
s[j]=(s[j-1]+f[i][j])%mod;
}
cout<<s[m]<<endl;
return 0;
}
{% endnote %}
ABC251E. Takahashi and Animals
题意：有 \(n\) 个动物，每次操作可以花费 \(a_i\) 的代价投喂第 \(i\) 和 \(i+1\) 个动物（特殊地，可以花费 \(a_n\) 的代价投喂第 \(n\) 和第 \(1\) 个动物）。求喂完每个动物至少一次的最小代价。
\(f[i][0/1][0/1]\) 表示考虑前 \(i\) 个动物，第 \(1\) 个动物选/不选，第 \(i\) 个动物选/不选的最小代价，则
{% note success code %}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int a[600010],f[600010][2][2];
signed main() {
int n,ans=1e18;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i];
f[1][1][1]=a[1],f[1][0][0]=0;
f[1][1][0]=f[1][0][1]=1e18;
for(int i=2;i<=n;i++) {
for(int j=0;j<=1;j++) {
f[i][j][1]=min(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1])+a[i];
f[i][j][0]=f[i-1][j][1];
}
}
cout<<min({f[n][1][0],f[n][0][1],f[n][1][1]})<<endl;
return 0;
}
{% endnote %}
ABC249E. RLE
对于一个小写字母组成的字符串 \(S\)，可以如下生成一个字符串 \(T\)：将 \(S\) 中每个极长的同字符子串替换为“字符+字符个数”的形式。例如 \(S=\texttt{aaabcc}\) 生成 \(T=\texttt{a3b1c2}\)。求有多少个长度为 \(n\) 的字符串 \(S\) 满足 \(len_T<len_S\)。
\(f[i][j]\) 表示 \(S\) 的长度为 \(i\)，\(T\) 的长度为 \(j\) 的方案数，则
转化一下求和方式：
其中第二个 \(\sum\) 可以使用前缀和维护。复杂度 \(n^2\log n\)。
{% note success code %}
{% endnote %}
