两道区间DP题目总结
CF1132F. Clear the String
题意：有一个字符串，每次可以删除一段连续的相同字母的子串，求删完的最小次数。
做法一
设 \(f[l][r]\) 表示 \([l,r]\) 删完的最小次数，则显然转移为枚举分两段加起来取最小值。由于可以删除连续一段相同的字母，所以如果左右两端相同，无论分的两段内部如何取，一定可以钦定左边的段将左端点留到最后，右边的段将右端点留到最后（钦定最后删端点答案不变），一起删，所以答案会 \(-1\)。于是转移为 \(f[l][r]=\min\limits_k f[l][k]+f[k+1][r]-[s_l=s_r]\)。
By cxm1024
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[510][510];
signed main() {
int n;
string s;
cin>>n>>s;
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=0;i<n;i++)
f[i][i]=1;
for(int len=2;len<=n;len++)
for(int l=0,r=len-1;r<n;l++,r++)
for(int k=l;k<r;k++)
f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]-(s[l]==s[r]));
cout<<f[0][n-1]<<endl;
return 0;
}
做法二
DP 状态相同。考虑 \(l\) 是否和另一位匹配，同时删。如果不匹配单独删，则为 \(1+f[l+1][r]\)，如果匹配，设匹配第 \(k\) 位，为 \(f[l+1][k-1]+f[k][r]\)（删完左边后，\(l\) 和 \(k\) 相邻，此时不需要考虑 \(l\)）。
By kmjp
int N;
string S;
int memo[505][505];
int hoge(int L,int R) {
if(L>=R) return 0;
if(memo[L][R]>=0) return memo[L][R];
int ret=1010101;
ret=1+hoge(L+1,R);
for(int ne=L+1;ne<R;ne++) if(S[L]==S[ne]) {
ret=min(ret,hoge(ne,R)+hoge(L+1,ne));
}
return memo[L][R]=ret;
}
void solve() {
int i,j,k,l,r,x,y; string s;
cin>>N>>S;
MINUS(memo);
cout<<hoge(0,N)<<endl;
}
错解一
By Motarack
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define f(i, x, n) for(int i = x; i < (int)(n); ++i)
int const N = 500;
int dp[N][N];
char s[N + 1];
int main(){
int n;
scanf("%d%s", &n, s);
f(i, 0, n)dp[i][i] = 1;
f(ln, 2, n + 1)f(i, 0, n - ln + 1){
int j = i + ln - 1, c = s[i] != s[j];
dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + c;
}
printf("%d\n", dp[0][n - 1]);
}
这个解法没有区间 DP 转移，直接选择一个端点删掉，没有考虑从中间断成两半处理的情况。
错解二
By Gloid
int n,f[N][N];
char s[N];
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
freopen("a.out","w",stdout);
#endif
n=read();
scanf("%s",s+1);
memset(f,42,sizeof(f));
for (int i=1;i<=n;i++) f[i][i]=1,f[i+1][i]=f[i][i-1]=0;
for (int k=2;k<=n;k++)
for (int i=1;i<=n-k+1;i++)
{
int j=i+k-1;
for (int d=i;d<j;d++) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][d]+f[d+1][j]);
if (s[i]==s[j])
{
int S=1;
for (int x=i;x<=j;x++)
if (s[x]!=s[i])
{
int t=x;
while (s[t+1]!=s[i]) t++;
S+=f[x][t];
x=t;
}
f[i][j]=min(f[i][j],S);
}
}
cout<<f[1][n];
return 0;
//NOTICE LONG LONG!!!!!
}
他的做法为，如果这个区间左右端点相同，则把区间内用所有与其相同的位置分成若干段，每段钦定最后取这个相同的位置，这样最后可以一次操作取完。实际上这并不能保证一定最优，因为有可能会先删了中间某个与其相同的位置（即将两段合成一段），对其他位置的删除更有利，反而结果更优。
CF607B. Zuma
题意：有一个数组，每次可以选择回文的一段删掉，求删光的最小次数。
做法一
设 \(f[l][r]\) 表示删光 \([l,r]\) 的最小次数，则显然可以从 \(f[l][k]+f[k+1][r]\) 转移过来。特殊地，如果 \(a_l=a_r\)，则可以由 \(f[l+1][r-1]\) 转移过来，只需要在最后一次删回文时顺带加上 \(a_l,a_r\) 即可。
By matthew99
int n;
int a[maxn + 5];
int dp[maxn + 5][maxn + 5];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("input.txt", "r", stdin);
freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
scanf("%d", &n);
REP(i, 0, n) scanf("%d", a + i);
REP(i, 0, n + 1) dp[i][i] = 0;
REP(l, 1, n + 1)
REP(i, 0, n - l + 1)
{
int j = i + l;
dp[i][j] = oo;
if (a[i] == a[j - 1]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
REP(k, i, j - 1)
if (a[i] == a[k]) chkmin(dp[i][j], dp[i + 1][k] + dp[k + 1][j] + 1);
}
printf("%d\n", dp[0][n] + 1);
return 0;
}
