算法与数据结构 2 - 二分

二分

介绍

二分是信息学中运用的较为广泛的一种思想。它的核心是每次操作去掉一半的错误答案，从而在 \(\text{log}_2n\)（在信息学中简称 \(\text{log}n\)）的操作次数内查找到答案。

题外话：算法的复杂度

计算机也许足够快，但并非无限快。 ————《算法导论》

现代计算机的运算速度已经达到了很高的水平，但它并不是无限快的。也许 \(2\) 个不同的算法都能解决某个问题，但其中一个运行时间及长或占用内存空间极大，那么在工程中通常会使用另一个更加优秀的算法。复杂度就是为了衡量一个算法的效率而产生的。

在信息学领域，通常使用的是时间复杂度和空间复杂度。它们表示了算法的用时或占用空间随数据规模而增长的趋势。通常使用 \(O(x)\) 记号表示。\(x\) 表示算法执行基本操作（如加减乘除、访问内存等）的规模。

为了简化，计算复杂度通常只会考虑算法耗时最长的一部分，同时省略常数。例如，一个算法存储并遍历了一个长度为 \(n\) 的数组，则它的时间复杂度为 \(O(n)\)，空间复杂度为 \(O(n)\)。
其他内容可参考：复杂度简介。

引入

二分思想的经典应用是在有序数组中查找某一元素。

给定一个升序排列的数组 \(a\)，长度为 \(n\)，以及元素 \(x\)。求 \(x\) 是否在 \(a\) 中。

这道问题有一个显然的做法：访问 \(a\) 中的每一个元素，检查它们是否和 \(x\) 相等。但这种方法最坏情况下需要查找 \(n\) 次，即时间复杂度为 \(O(n)\)，不够优秀，当它运行在普通家用计算机上（每秒执行基本操作次数约为 \(5\times 10^8\) 次）时，对于 \(n \le 10^{10}\) 的数据无法在 \(1\) 秒内完成。

注意到 \(a\) 是升序的，因此在查找时，我们并不需要检查 \(a\) 中的每一个元素：若已知 \(a_i < x\)，则对于 \(1\le j < i\)，均有 \(a_j < x\)。因此并不需要检查这些元素就能直接得知它们不符合要求。

而什么时候能排除最多的数据呢？显然，最优策略是判断 \(a\) 中间的元素 \(a_{\text{mid}}\)。因为显然无论如何，都至少能排除 \(\frac{n-1}{2}\) 个不等于 \(x\) 的数据。

因此，二分查找算法就呼之欲出了：

long long binary_search(long long x) {
  long long ret = -1, l = 1, r = n; //  未搜索到则返回 -1；已知 a[l] ≤ x ≤ a[r]
  while (l <= r) {
    long long mid = (l + r) / 2; // 区间的中点
    if (a[mid] < x)
      l = mid + 1; // 排除 [l, mid]
    else if (a[mid] > x)
      r = mid - 1; // 排除 [mid, r]
    else { // 找到答案
      ret = mid;
      break;
    }
  }
  return ret;
}

进阶

二分只是一种思想，因此它的作用远远不止在数组中查找元素。

从上面的例子中可以看出，想要使用二分，数据必须满足单调性，才可以通过中点排除至少一半的区间。若讲满足某种条件看成 \(1\)，不满足看成 \(0\)，则很多求区间最值的问题可以看做满足单调性。

总结一下，若想在某一类问题中使用二分，有前提条件：

1. 答案在一个固定区间内；
2. 可能查找一个符合条件的值不是很容易，但是要求能比较容易地判断某个值是否是符合条件的（否则二分的效率甚至不如暴力枚举）；
3. 可行解对于区间满足一定的单调性。换言之，如果 \(x\) 是符合条件的，那么有 \(x+1\) 或者 \(x-1\) 也符合条件。（这样下来就满足了上面提到的单调性）

例题：[COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树 。

伐木工人 Mirko 需要砍 \(M\) 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。
Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 \(H\)（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 \(H\)，并锯掉所有树比 \(H\) 高的部分（当然，树木不高于 \(H\) 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 \(20,15,10\) 和 \(17\)，Mirko 把锯片升到 \(15\) 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 \(15,15,10\) 和 \(15\)，而 Mirko 将从第 \(1\) 棵树得到 \(5\) 米，从第 \(4\) 棵树得到 \(2\) 米，共得到 \(7\) 米木材。
Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 \(H\)，使得他能得到的木材至少为 \(M\) 米。换句话说，如果再升高 \(1\) 米，他将得不到 \(M\) 米木材。

可以发现，对于高度 \(h\) 可以获得的木材一定不多于 \(h-1\)。即：设高度为 \(h\) 可以获得的木材为 \(f(h)\)，则该函数满足单调不上升。因此这道题就满足单调性，可以用二分法进行求解。

另外，由于这道题的数据范围较大，暴力判断每一个 \(h\) 是否满足要求无法在规定的时间内完成（后文简称“超时”），于是使用更加优秀的二分法。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n, m, a[1000001];
long long maxn;
bool check(long long mid) {
	long long res = 0;
	for (long long i = 0; i < n; i++) {
		if (a[i] > mid) res += a[i] - mid;
	}
	return res >= m;
}
int main() {
	scanf("%lld%lld", &n, &m);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%lld", a + i);
		maxn = max(maxn, a[i]);
	}
	long long l = 0, r = maxn;
	while (l < r) {
		long long mid = (l + r) >> 1;
		if (check(mid)) {
			l = mid + 1;
		} else {
			r = mid;
		}
	}
	printf("%lld\n", l - 1);
	return 0;
}

于是我们就飞快地通过了这道题。

结束语

二分是应用广泛的一种思想。这种思想很有用，不仅在信息学，更是在其他领域中大放异彩。

作业

1. [NOIP1999 提高组] 导弹拦截
2. A-B 数对