离散数学与结构 Part2
抽象代数
群论
群：代数结构 \((G,\cdot)\) 满足结合律，存在单位元，逆元
即 \(\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)
\(\exists e\forall a\quad a\cdot e=e\cdot a=a\) （可以证明单位元唯一）
\(\forall a\exists b \quad a\cdot b=b\cdot a=e\) （可以证明左逆元=右逆元且唯一）
我们有 \((a^{-1})^{-1}=a\) ，因为能考察 \(a\cdot a^{-1}\cdot (a^{-1})^{-1}\)
例：\((Z_n,+),(Z_n^{*},×),(Q-\{0\},×)\)
若还满足交换律，则我们称之为 Abel群 ，即交换群
子群(Subgroup)
\(H\) 是 \(G\) 的子群，记作 \(H\le G\) ，满足以下条件：
\(H\subseteq G\) ，且运算封闭，即 \(e\in H\) 且 \(\forall a,b\in H,ab\in H,a^{-1}\in H\) 。
对于 \(S\subseteq G\) ，称 \(\langle S\rangle\) 为包含 \(S\) 的最小子群。
陪集(coset)
\(aH=\{ab|b\in H\}\) 称为左陪集，同理定义 \(Ha\)
性质：\(aH\) 和 \(bH\) 的关系：要么 \(aH=bH\) ，要么 \(aH\cap bH=\varnothing\)
正规子群(Normal Subgroup)
\(N\unlhd G\) 当且仅当 \(N\le G\) 且 \(\forall a\in G,aN=Na\)
或者说 \(\forall a\in G,\forall g\in N,aga^{-1}\in N\)
考虑对 \(\{aN|a\in G\}\) 定义二元运算 \((aN)\cdot (bN)\) 等于 \((ab)N\) 发现它其实构成了一个群
它的单位元是 \(N\) ， \(aN\) 的逆元即 \(a^{-1}N\) 。
这就是 商群(quotient group) ，我们记作 \(G/N\) 。
经典例子： \(Z/nZ\)
我们规定以下记号： \(GL_n(F)\) 是 \(n\) 阶可逆的方阵构成的集合，它关于乘法构成了群
记 \(SL_n(F)=\{M\in GL_n(F)||M|=1\}\) ，则 \(SL_n(F)\le GL_n(F)\)
自由群(free group)
对于字符集 \(\{a,b,\dots\}\) ，我们在 \(\{a,b,a^{-1},b^{-1},\dots\}^{*}\) 上定义等价关系 \(\sim\)，即如果从 \(s\) 开始，不断消掉或添加形如 \(aa^{-1}\) 的子串能得到 \(t\) ，则认为 \(s\sim t\) 。那么 \(\{a,b,a^{-1},b^{-1},\dots\}^{*}\) \(/\sim\) 构成了一个群，它的乘法即：\([s]\cdot [t]=[st]\) ，这里是指两个串拼起来。这个群单位元是空串，逆元即 \((s_1s_2\dots s_t)^{-1}=s_t^{-1}s_{t-1}^{-1}\dots s_1^{-1}\) 这个群被称为自由群
我看到去年期中有这样一个题：对于群 \(G\) ，设 \(s_1,s_2,\dots,s_n\in G\) 满足 \(\langle s_1,s_2,\dots,s_n\rangle=G\) ，则存在 \(H\) 使得 \(free(s_1,s_2,\dots,s_n)/H\) 和 \(G\) 同构。这个题做法很显然啊，其实就是构造一个 \(free(s_1,s_2,\dots,s_n)\) 到 \(G\) 的自然映射，说明它是满同态就结束了。
对称群和交错群
\(Sym(\Omega)=\{\text{bijection }f:\Omega\to\Omega\}\)
称 \(S_n\) 是 \(\Omega=\{1,2,\dots,n\}\) 时的对称群
\(Alt_n\) 表示 \(S_n\) 中所有偶置换构成的集合。有 \(Alt_n\unlhd Sym_n\)
二面体群(Dihedral Group)
考虑一个 \(n\) 条边的正多边形，上面的每个顶点有编号。我们可以对它做两种变换，一个是旋转，一个是沿对称轴翻转。
记 \(D_n\le Sym_n\) 为由这两种变换生成的群。它可以被记作 \(\langle r,s|r^n=s^2=1,srs=r^{-1}\rangle\)
群的中心(Center)
\(C(G)=\{h\in G|\forall g\in G,hg=gh\}\)
例：\(C(GL_{n×n}(F))=\{aI|a\in F^{*}\}\)
可以说明 \(C(G)\le G\)
中心化子 \(C_g(G)=\{h\in G|gh=hg\}\) 。那显然 \(C(G)=\bigcap\limits_{g}C_g(G)\)
群同态&群同构
对于 \(\varphi:G\to H\) ，称 \(\varphi\in Hom(G,H)\) 当且仅当它保运算：即 \(\forall g_1,g_2\in G,\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)\)
同构：满足同态的前提下还是双射。
\(\text{Im}\varphi=\varphi(G),\ker\varphi=\varphi^{-1}(e_H)\) 。
容易证明 \(\ker \varphi\unlhd G\) 。
同态第一定理
\(G/\ker\varphi\cong\varphi(G)\) 。
考虑构造 \(\psi:G/\ker\varphi\to \varphi(G)\) 满足 \(\psi(x\ker\varphi)=\varphi(x)\) ，容易证明 \(\psi\) 是同构。
若 \(K\unlhd G,H\le G\) ，有以下结论：
\(KH=HK\le G,K\cap H\unlhd H\)
同态第二定理
\(H/K\cap H\cong HK/K\) 。
构造 \(\varphi:H\to G/K\) 满足 \(\varphi(h)=hK\) 。可以证明 \(\varphi(H)=HK/K\) 且 \(\ker \varphi=H\cap K\)
可以画图记忆：就是把子群格画一画。所以有人说这是“钻石定理”。
同态第三定理
如果 \(K,H\unlhd G\) 且 \(H\le K\) ，则 \(G/K\cong (G/H)/(K/H)\)
证明是构造 \(\varphi:G/H\to G/K\) 满足 \(\varphi(gH)=gK\) 。证明 \(\ker \varphi=K/H\) 和 \(\varphi(G/H)=G/K\) 。
画图长成了三个点的链。
同态第四定理
若 \(N\unlhd G\) ，则 \(\{H|N\le H\le G\}\) 和 \(G/N\) 的子群一一对应。
接下来是一些应用：
回顾： \(GL_n(F)\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 阶方阵中可逆矩阵的集合，它构成了群。
\(B_n(F)\subseteq GL_n(F)\) ：上三角可逆矩阵。
\(N_n(F)\subseteq B_n(F)\) ：上三角且对角线全为 \(1\) 的可逆矩阵。
可以证明 \(N_n\le B_n\le GL_n\) 。
构造 \(\varphi:B_n(F)\to (F^*)^n\) ，其中 \(\varphi\) 表示把上三角矩阵的对角线提取出来。可以证明 \(\varphi\) 是群同态，且 \(\ker \varphi=N_n(F)\) 。
这说明 \(N_n\unlhd B_n\) 且 \(B_n/N_n\cong (F^*)^n\)
另一个应用：
考察 \(F[x]\) ，它关于加法构成了群。
令 \(\varphi:Z[x]\to Z_p\) 满足 \((a_0,a_1x^1,\dots,a_tx^t)\to a_0\bmod p\) 。
可以证明 \(\varphi\) 是群同态，且 \(\ker \varphi=\{f(x)=a_0+a_1x^1+\dots+a_tx^t|a_0\bmod p=0\}\)
类似的可以证明 \(Z/pZ\cong Z_p\)
单群：\(H\unlhd G\to H=\{e\}\) 或 \(H=G\) ，则 \(G\) 是单群。
如果 \(G\) 不是单群，则存在一组拆分满足 \(G=H_0\unrhd H_1\unrhd\dots \unrhd H_k=\{e\}\) ，且 \(H_i/H_{i+1}\) 是单群。
一个很厉害的定理叫做单群分类定理，它把所有的单群都找了出来，这里就不谈了。
循环群 存在 \(g\in G\) 使得 \(G=\lang g\rang\) 。显然加法运算下 \(Z_n\) 都是循环群。
结论：任何一个有限生成阿贝尔群 \(G\) 都和 \(Z^r× Z_{n_1}×Z_{n_2}×\dots ×Z_{n_t}\) 同构。其中有限生成是说 \(G=<a_1a_2\dots a_t>\)
考虑归纳证明，然后反证：假设 \(G=<g_1g_2\dots g_t>\) 不满足条件，而由小于 \(t\) 个元素生成的群都满足条件。这里我们认为 \(G\) 不能被 \(t-1\) 个元素生成。
设一组生成元 \(G=<a_1a_2\dots a_t>\) 的权值如下：
考虑令 \(\varphi:Z^t\to G\) 满足 \(\varphi(c_1\dots c_t)=\prod a_i^{c_i}\) 则这组生成元的权值： \((c_1,\dots,c_t)\in \ker \varphi\) 满足非全 \(0\) 时最小的 \(\sum |c_i|\) 。
可以证明权值最小的那组生成元只有一个 \(c_i\) 非 \(0\) ，否则容易调整。不妨设 \(c_1\neq 0\) 。
那此时 \(a_1\) 的阶是 \(c_1\) 。就有 \(G\cong Z_{c_1}×<a_2\dots a_t>\)
\(End(G)=Hom(G,G)\) 为自同态，\(Aut(G)=Iso(G,G)\) 为自同构。\(Inn(G)=\{f:f(a)=gag^{-1}|a\in G\}\)
群作用 (Group Action)
对于群 \(G\) 和集合 \(X\) ，可以定义 \(*:G×X\to X\) 满足 \(\forall g,h\in G,x\in X\) 满足 \(h*(g*x)=hg*x\) 。我们称之为左群作用。（同理可定义右群作用）
例：\(*:Sym(\Omega)×\Omega\to \Omega\) 满足 \(\sigma*x=\sigma(x)\) ，是左群作用
\(*:G×G\to G\) 满足 \(g*h=gh\) ，是左群作用，被称为左平移
\(*:G×G\to G\) 满足 \(g*h=hg^{-1}\) 是左群作用，被称为右平移。
定理：\(G\) 在 \(X\) 上的一个群作用等价于 \(Hom(G,Sym(X))\)。也就是说可以把群作用看做 \(\varphi:G\to Sym(X)\) ，每一个 \(G\) 中的元素都对应了 \(X\) 的一个置换，并且 \(\varphi_g\circ \varphi_h=\varphi_{gh}\)
忠实作用：\(\varphi:G\to Sym(X)\) 为单射。
基于群作用，我们可以定义轨道：设 \(orbit(x)=Gx=\{g*x|g\in G\}\)
可以证明 \(\forall x,y\in X\) 有 \(Gx=Gy\) 或 \(Gx\cap Gy=\varnothing\) 。
设 \(G/X=\{Gx|x\in X\}\)
稳定化子 设 \(Stab(x)=\{g|g*x=x\}\) 。可以证明 \(Stab(x)\unlhd G\)
共轭 若 \(\exists g\in G\) 使得 \(g*y=x\) ，那么 \(x,y\) 共轭。
可以证明 \(|G/Stab(x)|=|Gx|\) ，设 \(\varphi:G/stab(x)\to Gx\) 满足 \(\varphi(g\cdot Stab(x))=g*x\) 即可
现在就可以得到更普遍的的共轭的定义：设对群 \(G\) 自身的群作用满足 \(g*h=ghg^{-1}\) ，那么 \(Gx\) 是 \(x\) 所在的共轭类。设 \(C(x)=\{g|gxg^{-1}=x\}\) ，我们有 \(\frac{|G|}{|C(x)|}=[G:C(x)]=|Gx|\) 。
考虑群作用 \(*:Sym(n)×Sym(n)\to Sym(n)\) 满足 \(\sigma*\tau=\sigma\tau\sigma^{-1}\) 。
可以证明两个置换同构当且仅当它们的 Shape 相同，所谓 Shape，就是把置换拆成若干不交轮换，轮换大小构成的可重集。
群的分类方程(Conjugation class formula)
\(|G|=|C(G)|+\sum\limits_{c_i}[G:C(c_i)]\) ，其中 \(C(G)\) 是中心，\(c_1,c_2,\dots,\in G\) 是若干大小大于等于 \(2\) 的共轭类的代表。
我们可以证明：若 \(|G|=p^r\) （即 \(G\) 是 p-Group） ，那么 \(C(G)\neq \{e\}\) 。
我们可以证明：\(|G|=p^2\) ,则 \(G\) 是 Abel 群。
假设 \(|C(G)|=p\) ，找到 \(g\notin C(G)\) ，有 \(C(G)\le C(g)\) 且 \(g\in C(g)\) ，所以 \(|C(g)|>p\) ，于是 \(|C(g)|=p^2\) ，那么 \(g\in C(G)\) ，矛盾！于是 \(C(G)=p^2\) 是 Abel 群。
Sylow 定理
令 \(G=p^rm\) ，其中 \(p\nmid m\) 。
定义 \(H\) 是 \(G\) 的 p-Sylow subgroup ，当且仅当：
\(H\le G,|H|=p^r\)。
Sylow's theorems
第一，存在 p-Sylow subgroup
第二，两个 p-Sylow subgroup \(H_1,H_2\) 共轭，即存在 \(g\in G\) 使得 \(gH_1g^{-1}=H_2\)
这个定理有一些推论：
- p-Sylow 子群唯一 \(\leftrightarrow\) p-Sylow 子群正规
- 设 \(P\) 是 \(G\) 的 p-Sylow 子群，\(N_G(P)=\{g\in G|gPg^{-1}=P\}\) ，则 \(P\) 是 \(N_G(P)\) 的唯一 p-Sylow 子群。
第三，设 \(n_p\) 是 p-Sylow subgroup 的个数，则 \(n_p\bmod p=1\) 且 \(n_p|m\) 。
第一定理考虑归纳证明：
如果 \(p|C(G)\) ，根据那个有限生成阿贝尔群的定理 \(C(G)=P×Q\) ,其中 \(P\) 和 \(Z_{p^t}\) 同构。
根据归纳，找到 \(G/P\) 的 sylow-p 子群 \(S/P\) ，则 \(|S/P|=p^{r-t}\) ，于是 \(|S|=p^t\cdot p^{r-t}=p^t\) ，\(S\) 就是我们想找的。
如果 \(p\nmid C(G)\) ，那根据分类方程存在 \(p\nmid [G:C(c_i)]\) ，则 \(p^r|C(c_i)\) ，归纳找到 \(C(c_i)\) 的 sylow-p 子群即可
第二定理考虑对于两个 sylow-p 子群 \(P,Q\le G\) ，我们构造一个群作用\(*:Q×(G/P)\to G/P\) 满足 \(q*gP=(qg)P\) 。 (注意 \(G/P\) 是左陪集的集合，不是商群)
那么 \(G/P\) 不是 \(p\) 的倍数，自然就存在 \(orbit(gP)\) 大小不是 \(p\) 的倍数，它也等于 \([Q：Stab(gP)]\) 。但是 \(|Q|=p^r\) ，于是 \([Q：Stab(gP)]\) 应该是 \(p\) 的幂，那么有 \([Q:Stab(gP)]=1\)，于是 \(Stab(gP)=Q\) 。也就是说 \(\forall q\in Q,qgP=gP\) ，即 \(g^{-1}qg\in P\) 。那就是 \(g^{-1}Qg=p\) 了。
第三定理
首先证明 \(n_p|m\) 。
设 \(Syl_p(G)\) 是 \(G\) 的 sylow-p 子群构成的集合，构造 \(*:G×Syl_p(G)\to Syl_p(G)\) 使得 \(g*P=gPg^{-1}\)
由 Sylow II ,这个作用的轨道是唯一的。这样的作用被称为可迁的(transitive)
于是 \(n_p=[G:N_G(P)]=\frac{|G|}{|N_G(P)|}=\frac{|G|}{|P|\cdot [N_G(P):P]}=\frac{m}{[N_G(P):P]}\) 。
然后证明 \(n_p\bmod p=1\) 。
和刚才的构造类似，但现在我们任取一个 sylow-p 子群为 \(P\) ，构造 \(*:P×Syl_p(G)\to Syl_p(G)\) 。
那么还是考察类方程，有 \(n_p=\sum\limits_{轨道任取代表 P_i}[P:Stab(P_i)]\) 。如果 \(Stab(P_i)\neq P\) ，自然 \([P:Stab(P_i)]\) 是 \(p\) 的倍数；否则 \(Stab(P_i)=P\) 这说明 \(P_i\) 是 \(N_G(P)\) 的子群，于是 \(P_i=P\) 。看来模 \(P\) 意义下，只有取到 \(P\) 所在的轨道，这个总和才会加 \(1\) ，这就证完了。、
环
ohno，我有一节课没上，笔记不是很完整。
环：代数结构 \((R,+,\cdot)\) 满足 \((R,+)\) 构成 Abel 群，\((R,\cdot)\) 构成半群 且乘法对于加法满足分配律。
交换环 乘法满足交换律。
无零因子环 不存在 \(a\neq 0,b\neq 0\) 使得 \(ab=0\)
整环 含单位元的交换环且无零因子，且 \(R\neq \{0\}\) 。
除环 含单位元，且任一非零元都在乘法下有逆元
域 除环+交换环。（除环但不是交换环的例子：Hamilton四元数体）
\(a\) 相伴 \(b\) ： \(a|b\land b|a\) （记作 \(a\sim b\)）
\(a\) 是不可约元：\(p|a\to p\sim a\) 或 \(p\sim 1\)
\(a\) 是素元：\(p|ab\to p|a\lor p|b\)
唯一分解整环(UFD) 每个元素都能表示成有限个不可约元和一个可逆元的乘积（素元：\(p|ab\to p|a\lor p|b\)）并且表示法在允许重排与相伴之下唯一
UFD 可以等价定义为满足以下两个条件的整环：
ACCP: 不存在无限因子链 \(a_1,a_2,\dots\) 满足 \(a_1|a_2|a_3|\dots\) 且 \(a_i\not\sim a_{i+1}\) 。
素性条件：素元和不可约元等价。
分式域
对于环 \(R\) 定义 \(Frac(R)=R×(R/\{0\})/\sim\) ，其中 \((a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc\) 。
理想 \(I\) 是 \(R\) 的理想当且仅当 \(I\) 关于加法构成 \(R\) 的子群，且 \(\forall r\in R,\forall i\in I,ir\in I,ri\in I\) 。
如果 \(R\) 是交换环，那我们进一步能定义商环。就是 \(R/I=\{r+I|r\in R\}\) 。
环上的同态仍然满足同态基本定理。
可以证明若 \(A,B\) 是 \(R\) 的理想，则 \(A+B,AB\) 还是理想。注意 \(AB\) 的定义：有限个 \(a_ib_i\) 的和，其中 \(a_i\in A,b_i\in B\) 。
主理想
由一个元素生成的理想称作主理想。如果它还是个整环，我们就称为 主理想整环 (PID) 。
素理想
\(R\) 是交换含幺环，且 \(ab\in I\to a\in I\cup b\in I\)
定理：\(I\) 是素理想 \(\Leftrightarrow\) \(R/I\) 是整环。
极大理想
\(R\) 中包含 \(M\) 的理想只有 \(M\) 和 \(R\) 。
定理：\(I\) 是极大理想 \(\Leftrightarrow\) \(R/I\) 是域。
特征
设 \(R\) 是非零环，对于 \(\forall a\in R,na=0\) 成立的最小正整数 \(n\) 称为环的特征，记作 \(\text{Char} R\) 。若不存在这样的 \(n\) ，则 \(\text{Char} R=0\) 。
对于无零因子含幺环，有 \(\text{Char} R\) 等于质数或 \(0\)。
欧式整区(ED)
存在 \(\varphi:R\to \N\) 满足 \(\varphi(x)=0\Leftrightarrow x=0\) 且 \(\forall a,b\neq 0\) ，存在 \(q,r\) 使得 \(a=bq+r\) 且 \(\varphi(r)<\varphi(b)\) 。
可以发现 \(F[x]\) 就是欧式整区，可以定义 \(\varphi(f(x))\) 表示 \(f(x)\) 的次数。
有 域 \(\subseteq\) ED \(\subseteq\) PID \(\subseteq\) UFD \(\subseteq\) 整环
域
设 \(F\) 是 \(K\) 的子域。那么 \(K\) 是 \(F\) 的域扩张。
\(K\) 可以看做 \(F\) 上的线性空间。(K is F-linear space)
设 \([K:F]\) 是 \(K\) 看做 F-linear space 时的维数(dimension)。
当 \(\text{char} F\) 是质数时 \(\Z_p=\mathbb{F}_p\subseteq F\) ，否则 \(Q\subseteq F\) 。
对于有限域 \(F\) ，\(|F|=p^d\) 。因为 \(F_p\subseteq F\) ，设 \(d=[F:F_p]\) ，即有 \(|F|=p^d\) 。
对于 \(F\subseteq E,E\subseteq K\) ，有 \([K:F]=[E:F][K:E]\) 。
一些常见的扩张：\([F[x]/(f):F]=\deg f\) 。
对于扩张 \(K/F\) 以及 \(u\in K\) ，定义 \(F(u)\) 表示包含 \(F\) 和 \(u\) 的最小的 \(K\) 的子域。
考虑（保单位元）的域同态 \(\varphi:F\to F'\) 的性质。
第一，一定有 \(\varphi\) 是单射。因为假设存在 \(u\in \ker \varphi-\{0\}\) ，则 \(uu^{-1}=1\in \ker\varphi\) ，可得 \(F=\ker \varphi\) ，矛盾。
第二，\(F\) 和 \(\varphi(F)\) 同构。
对于扩张 \(K/F\) 以及 \(u\in K\) ，有两种情况：
case1：存在不可约多项式 \(f\in F[x]\) 满足 \(f(u)=0\) 。
此时有性质 \(F[x]/(f)\cong F(u)\) 。
(实际例子：\(\R[x]/(x^2+1)\cong \R[i]=\mathbb{C}\))
（我们可以构造 \(F[x]\) 到 \(F(u)\) 的映射满足 \(\varphi(f)=f(u)\)）
case2: \(1,u,u^2,u^3,\dots\) 在 K 看做 F-线性空间时是线性无关的。
对第一种情况，我们称 \(u\) 是代数数，否则是超越数。
代数扩张：对于 \(K/F\) ，\(K\) 中所有数都是代数数。
分裂域 ：对于 \(K/F\) ,称 \(f\in F[x]\) 能被 \(K\) 分裂当且仅当 \(f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\dots (x-\alpha_d)\) ，且 \(\alpha_1,\dots,\alpha_d\in K\)
我们称 \(K\) 是 \(f\) 的分裂域，当且仅当 \(f\) 能被 \(K\) 分裂且 \(K=F(\alpha_1,\dots,\alpha_d)\) 。
我们称 \(K/F\) 是正规扩张，当且仅当所有 \(F[x]\) 中的不可约多项式 \(f\) 都有 \(f\) 在 \(K\) 中有根 \(\Leftrightarrow\) \(f\) 能被 \(K\) 分裂。
定理：对于任意 \(f\in F[x]\) ，一定存在一个 \(f\) 的分裂域 \(K\) 满足 \([K:f]\le (\deg F)!\) 。且这个域是同构意义下唯一的。
紧接着可以得到有限域 的重要性质：\(\mathbb{F}_{p^d}\) 是唯一的。
因为你考虑 \(f\in \mathbb{F}_p[x]\) 满足 \(f(x)=x^{p^d}-x\)。因为 \(f'=p^dx^{p^d-1}-1=-1\) ，所以 \(\gcd(f,f')=1\) ，于是 \(f\) 没有重因式。这说明 \(f\) 的 \(p^d\) 个根两两不同，设 \(K\) 是 \(f\) 的分裂域，\(F_{p^d}\) 是这些根构成的集合，可以证明 \(F_{p^d}=K\) 。
现在我们设 \(f\) 是 \(\mathbb{F}_{q}[x]\) 中的不可约多项式，令 \(\deg f=d\) 。
结论； \(|F_q[x]/(f)|=q^d\) ，同时 \(f|x^{q^d}-x\)
结论：\(x^{q^d}-x\) 等于所有 \(F_q[x]\) 中 deg 被 \(d\) 整除的不可约多项式的乘积
对于 \(f\in F^q[x]\) ，如何做因式分解？其中 \(q=p^d\) 。
首先要明白，我们只需要找到它的一个非平凡的分解，就能递归的做下去了。
先找重因式：计算 \(\gcd(f,f')\) 。因为有 \((g^2f)'=g(2f+gf')\) ，它和 \(g^2f\) 有公因式 \(g\) 。
现在的 \(f\) 是 square-free 的，也就是说它是若干个互不相同的不可约多项式的乘积。
若这些多项式中有两个多项式 \(g_1,g_2\) 满足 \(d_1=\deg g_1<d_2=\deg g_2\) ，那么有 \(g_1|x^{q^{d_1}}-x\) ，但 \(g_2\nmid x^{q^{d_1}}-x\) ，所以计算 \(\gcd(f,x^{q^{d_1}}-x)\) 即可。也就是说可以枚举 \(d\) ，计算 \(\gcd(f,x^{q^d}-x)\) 。（这里在算法上存在一个问题是 \(q^d\) 可能是个很大的数，可以考虑快速幂计算 \(x^{q^d}\bmod f\)）
现在的 \(f\) 是若干互不相同且度数相同的不可约多项式的乘积。
我们的方法是直接随一个多项式 \(g\) ，然后计算 \(\gcd(g^{\frac{q^d-1}{2}}-1,f)\) ，因为令 \(f=f_1f_2\dots f_k\) ，根据费马小定理，每个 \(f_i|x^{\frac{q^d-1}{2}}-1\) 的概率都是 \(\frac{1}{2}\) ，所以把这 \(k\) 个多项式分开的概率就是 \(1-\frac{1}{2^{k-1}}\) 。
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