离散数学与结构 Part2

抽象代数

群论

群：代数结构 \((G,\cdot)\) 满足结合律，存在单位元，逆元

即 \(\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)

\(\exists e\forall a\quad a\cdot e=e\cdot a=a\) （可以证明单位元唯一）

\(\forall a\exists b \quad a\cdot b=b\cdot a=e\) （可以证明左逆元=右逆元且唯一）

我们有 \((a^{-1})^{-1}=a\) ，因为能考察 \(a\cdot a^{-1}\cdot (a^{-1})^{-1}\)

例：\((Z_n,+),(Z_n^{*},×),(Q-\{0\},×)\)

若还满足交换律，则我们称之为 Abel群 ，即交换群

子群(Subgroup)

\(H\) 是 \(G\) 的子群，记作 \(H\le G\) ，满足以下条件：

\(H\subseteq G\) ，且运算封闭，即 \(e\in H\) 且 \(\forall a,b\in H,ab\in H,a^{-1}\in H\) 。

对于 \(S\subseteq G\) ，称 \(\langle S\rangle\) 为包含 \(S\) 的最小子群。

陪集(coset)

\(aH=\{ab|b\in H\}\) 称为左陪集，同理定义 \(Ha\)

性质：\(aH\) 和 \(bH\) 的关系：要么 \(aH=bH\) ，要么 \(aH\cap bH=\varnothing\)

正规子群(Normal Subgroup)

\(N\unlhd G\) 当且仅当 \(N\le G\) 且 \(\forall a\in G,aN=Na\)

或者说 \(\forall a\in G,\forall g\in N,aga^{-1}\in N\)

考虑对 \(\{aN|a\in G\}\) 定义二元运算 \((aN)\cdot (bN)\) 等于 \((ab)N\) 发现它其实构成了一个群

它的单位元是 \(N\) ， \(aN\) 的逆元即 \(a^{-1}N\) 。

这就是 商群(quotient group) ，我们记作 \(G/N\) 。

经典例子： \(Z/nZ\)

我们规定以下记号： \(GL_n(F)\) 是 \(n\) 阶可逆的方阵构成的集合，它关于乘法构成了群

记 \(SL_n(F)=\{M\in GL_n(F)||M|=1\}\) ，则 \(SL_n(F)\le GL_n(F)\)

自由群(free group)

对于字符集 \(\{a,b,\dots\}\) ，我们在 \(\{a,b,a^{-1},b^{-1},\dots\}^{*}\) 上定义等价关系 \(\sim\)，即如果从 \(s\) 开始，不断消掉或添加形如 \(aa^{-1}\) 的子串能得到 \(t\) ，则认为 \(s\sim t\) 。那么 \(\{a,b,a^{-1},b^{-1},\dots\}^{*}\) \(/\sim\) 构成了一个群，它的乘法即：\([s]\cdot [t]=[st]\) ，这里是指两个串拼起来。这个群单位元是空串，逆元即 \((s_1s_2\dots s_t)^{-1}=s_t^{-1}s_{t-1}^{-1}\dots s_1^{-1}\) 这个群被称为自由群

我看到去年期中有这样一个题：对于群 \(G\) ，设 \(s_1,s_2,\dots,s_n\in G\) 满足 \(\langle s_1,s_2,\dots,s_n\rangle=G\) ，则存在 \(H\) 使得 \(free(s_1,s_2,\dots,s_n)/H\) 和 \(G\) 同构。这个题做法很显然啊，其实就是构造一个 \(free(s_1,s_2,\dots,s_n)\) 到 \(G\) 的自然映射，说明它是满同态就结束了。

对称群和交错群

\(Sym(\Omega)=\{\text{bijection }f:\Omega\to\Omega\}\)

称 \(S_n\) 是 \(\Omega=\{1,2,\dots,n\}\) 时的对称群

\(Alt_n\) 表示 \(S_n\) 中所有偶置换构成的集合。有 \(Alt_n\unlhd Sym_n\)

二面体群(Dihedral Group)

考虑一个 \(n\) 条边的正多边形，上面的每个顶点有编号。我们可以对它做两种变换，一个是旋转，一个是沿对称轴翻转。

记 \(D_n\le Sym_n\) 为由这两种变换生成的群。它可以被记作 \(\langle r,s|r^n=s^2=1,srs=r^{-1}\rangle\)

群的中心(Center)

\(C(G)=\{h\in G|\forall g\in G,hg=gh\}\)

例：\(C(GL_{n×n}(F))=\{aI|a\in F^{*}\}\)

可以说明 \(C(G)\le G\)

中心化子 \(C_g(G)=\{h\in G|gh=hg\}\) 。那显然 \(C(G)=\bigcap\limits_{g}C_g(G)\)

群同态&群同构

对于 \(\varphi:G\to H\) ，称 \(\varphi\in Hom(G,H)\) 当且仅当它保运算：即 \(\forall g_1,g_2\in G,\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)\)

同构：满足同态的前提下还是双射。

\(\text{Im}\varphi=\varphi(G),\ker\varphi=\varphi^{-1}(e_H)\) 。

容易证明 \(\ker \varphi\unlhd G\) 。

同态第一定理

\(G/\ker\varphi\cong\varphi(G)\) 。

考虑构造 \(\psi:G/\ker\varphi\to \varphi(G)\) 满足 \(\psi(x\ker\varphi)=\varphi(x)\) ，容易证明 \(\psi\) 是同构。
若 \(K\unlhd G,H\le G\) ，有以下结论：

\(KH=HK\le G,K\cap H\unlhd H\)

同态第二定理

\(H/K\cap H\cong HK/K\) 。

构造 \(\varphi:H\to G/K\) 满足 \(\varphi(h)=hK\) 。可以证明 \(\varphi(H)=HK/K\) 且 \(\ker \varphi=H\cap K\)

可以画图记忆：就是把子群格画一画。所以有人说这是“钻石定理”。

同态第三定理

如果 \(K,H\unlhd G\) 且 \(H\le K\) ，则 \(G/K\cong (G/H)/(K/H)\)

证明是构造 \(\varphi:G/H\to G/K\) 满足 \(\varphi(gH)=gK\) 。证明 \(\ker \varphi=K/H\) 和 \(\varphi(G/H)=G/K\) 。

画图长成了三个点的链。

同态第四定理

若 \(N\unlhd G\) ，则 \(\{H|N\le H\le G\}\) 和 \(G/N\) 的子群一一对应。

接下来是一些应用：

回顾： \(GL_n(F)\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 阶方阵中可逆矩阵的集合，它构成了群。

\(B_n(F)\subseteq GL_n(F)\) ：上三角可逆矩阵。

\(N_n(F)\subseteq B_n(F)\) ：上三角且对角线全为 \(1\) 的可逆矩阵。

可以证明 \(N_n\le B_n\le GL_n\) 。

构造 \(\varphi:B_n(F)\to (F^*)^n\) ，其中 \(\varphi\) 表示把上三角矩阵的对角线提取出来。可以证明 \(\varphi\) 是群同态，且 \(\ker \varphi=N_n(F)\) 。

这说明 \(N_n\unlhd B_n\) 且 \(B_n/N_n\cong (F^*)^n\)

另一个应用：

考察 \(F[x]\) ，它关于加法构成了群。

令 \(\varphi:Z[x]\to Z_p\) 满足 \((a_0,a_1x^1,\dots,a_tx^t)\to a_0\bmod p\) 。

可以证明 \(\varphi\) 是群同态，且 \(\ker \varphi=\{f(x)=a_0+a_1x^1+\dots+a_tx^t|a_0\bmod p=0\}\)

类似的可以证明 \(Z/pZ\cong Z_p\)

单群：\(H\unlhd G\to H=\{e\}\) 或 \(H=G\) ，则 \(G\) 是单群。

如果 \(G\) 不是单群，则存在一组拆分满足 \(G=H_0\unrhd H_1\unrhd\dots \unrhd H_k=\{e\}\) ，且 \(H_i/H_{i+1}\) 是单群。

一个很厉害的定理叫做单群分类定理，它把所有的单群都找了出来，这里就不谈了。

循环群 存在 \(g\in G\) 使得 \(G=\lang g\rang\) 。显然加法运算下 \(Z_n\) 都是循环群。

结论：任何一个有限生成阿贝尔群 \(G\) 都和 \(Z^r× Z_{n_1}×Z_{n_2}×\dots ×Z_{n_t}\) 同构。其中有限生成是说 \(G=<a_1a_2\dots a_t>\)

考虑归纳证明，然后反证：假设 \(G=<g_1g_2\dots g_t>\) 不满足条件，而由小于 \(t\) 个元素生成的群都满足条件。这里我们认为 \(G\) 不能被 \(t-1\) 个元素生成。

设一组生成元 \(G=<a_1a_2\dots a_t>\) 的权值如下：

考虑令 \(\varphi:Z^t\to G\) 满足 \(\varphi(c_1\dots c_t)=\prod a_i^{c_i}\) 则这组生成元的权值： \((c_1,\dots,c_t)\in \ker \varphi\) 满足非全 \(0\) 时最小的 \(\sum |c_i|\) 。

可以证明权值最小的那组生成元只有一个 \(c_i\) 非 \(0\) ，否则容易调整。不妨设 \(c_1\neq 0\) 。

那此时 \(a_1\) 的阶是 \(c_1\) 。就有 \(G\cong Z_{c_1}×<a_2\dots a_t>\)

\(End(G)=Hom(G,G)\) 为自同态，\(Aut(G)=Iso(G,G)\) 为自同构。\(Inn(G)=\{f:f(a)=gag^{-1}|a\in G\}\)

群作用 (Group Action)

对于群 \(G\) 和集合 \(X\) ，可以定义 \(*:G×X\to X\) 满足 \(\forall g,h\in G,x\in X\) 满足 \(h*(g*x)=hg*x\) 。我们称之为左群作用。（同理可定义右群作用）

例：\(*:Sym(\Omega)×\Omega\to \Omega\) 满足 \(\sigma*x=\sigma(x)\) ，是左群作用

\(*:G×G\to G\) 满足 \(g*h=gh\) ，是左群作用，被称为左平移

\(*:G×G\to G\) 满足 \(g*h=hg^{-1}\) 是左群作用，被称为右平移。

定理：\(G\) 在 \(X\) 上的一个群作用等价于 \(Hom(G,Sym(X))\)。也就是说可以把群作用看做 \(\varphi:G\to Sym(X)\) ，每一个 \(G\) 中的元素都对应了 \(X\) 的一个置换，并且 \(\varphi_g\circ \varphi_h=\varphi_{gh}\)

忠实作用：\(\varphi:G\to Sym(X)\) 为单射。

基于群作用，我们可以定义轨道：设 \(orbit(x)=Gx=\{g*x|g\in G\}\)

可以证明 \(\forall x,y\in X\) 有 \(Gx=Gy\) 或 \(Gx\cap Gy=\varnothing\) 。

设 \(G/X=\{Gx|x\in X\}\)

稳定化子 设 \(Stab(x)=\{g|g*x=x\}\) 。可以证明 \(Stab(x)\unlhd G\)

共轭 若 \(\exists g\in G\) 使得 \(g*y=x\) ，那么 \(x,y\) 共轭。

可以证明 \(|G/Stab(x)|=|Gx|\) ，设 \(\varphi:G/stab(x)\to Gx\) 满足 \(\varphi(g\cdot Stab(x))=g*x\) 即可

现在就可以得到更普遍的的共轭的定义：设对群 \(G\) 自身的群作用满足 \(g*h=ghg^{-1}\) ，那么 \(Gx\) 是 \(x\) 所在的共轭类。设 \(C(x)=\{g|gxg^{-1}=x\}\) ，我们有 \(\frac{|G|}{|C(x)|}=[G:C(x)]=|Gx|\) 。

考虑群作用 \(*:Sym(n)×Sym(n)\to Sym(n)\) 满足 \(\sigma*\tau=\sigma\tau\sigma^{-1}\) 。

可以证明两个置换同构当且仅当它们的 Shape 相同，所谓 Shape，就是把置换拆成若干不交轮换，轮换大小构成的可重集。

群的分类方程(Conjugation class formula)

\(|G|=|C(G)|+\sum\limits_{c_i}[G:C(c_i)]\) ，其中 \(C(G)\) 是中心，\(c_1,c_2,\dots,\in G\) 是若干大小大于等于 \(2\) 的共轭类的代表。

我们可以证明：若 \(|G|=p^r\) （即 \(G\) 是 p-Group） ，那么 \(C(G)\neq \{e\}\) 。

我们可以证明：\(|G|=p^2\) ,则 \(G\) 是 Abel 群。

假设 \(|C(G)|=p\) ，找到 \(g\notin C(G)\) ，有 \(C(G)\le C(g)\) 且 \(g\in C(g)\) ，所以 \(|C(g)|>p\) ，于是 \(|C(g)|=p^2\) ，那么 \(g\in C(G)\) ，矛盾！于是 \(C(G)=p^2\) 是 Abel 群。

Sylow 定理

令 \(G=p^rm\) ，其中 \(p\nmid m\) 。

定义 \(H\) 是 \(G\) 的 p-Sylow subgroup ，当且仅当：

\(H\le G,|H|=p^r\)。

Sylow's theorems

第一，存在 p-Sylow subgroup

第二，两个 p-Sylow subgroup \(H_1,H_2\) 共轭，即存在 \(g\in G\) 使得 \(gH_1g^{-1}=H_2\)

第三，设 \(n_p\) 是 p-Sylow subgroup 的个数，则 \(n_p\bmod p=1\) 且 \(n_p|m\) 。

第一定理考虑归纳证明：

如果 \(p|C(G)\) ，根据那个有限生成阿贝尔群的定理 \(C(G)=P×Q\) ,其中 \(P\) 和 \(Z_{p^t}\) 同构。

根据归纳，找到 \(G/P\) 的 sylow-p 子群 \(S/P\) ，则 \(|S/P|=p^{r-t}\) ，于是 \(|S|=p^t\cdot p^{r-t}=p^t\) ，\(S\) 就是我们想找的。

如果 \(p\nmid C(G)\) ，那根据分类方程存在 \(p\nmid [G:C(c_i)]\) ，则 \(p^r|C(c_i)\) ，归纳找到 \(C(c_i)\) 的 sylow-p 子群即可

第二定理考虑对于两个 sylow-p 子群 \(P,Q\le G\) ，我们构造一个群作用\(*:Q×(G/P)\to G/P\) 满足 \(q*gP=(qg)P\) 。未完待续。。。