数学分析 I

不保证正确性

一些基本概念

加法公理：\((F,+)\) 是群。复习群：有单位元，逆元，交换律，结合律，封闭性

乘法公理：\((F^{*},\cdot)\) 是群。

域：\((F,+,\cdot)\) 。

序的定义：\(F\) 上的二元关系 \(<\) 满足：

1. \(\forall x,y\in F\) ，一定有 \(x<y\) 或 \(y<x\) 或 \(x=y\) (唯一性)

2. \(\forall x,y,z\in F\) ，\(x<y\land y<z\rightarrow x<z\) (传递性)

有序域：

\(\forall x,y,z\in F,y<z\rightarrow x+y<x+z\)

\(\forall x,y\in F,x>0\land y>0 \rightarrow xy>0\)

上下界：

对于有序集 \(F\) 和 \(E\subseteq F\) 。

若 \(\alpha \in F\) 满足 \(\forall x\in E,x\le \alpha\) ，则 \(\alpha\) 是 \(E\) 的上界。下界同理定义。

最大，最小值

若 \(\beta\) 是 \(E\) 的上界且 \(\beta\in E\) ，则 \(\beta=\max\{E\}\) ，称为最大值。最小值同理。

上下确界

若 \(\beta_0\) 是 \(E\) 的上界，且 \(\forall \beta \in F\) ，如果 \(\beta\) 是 \(E\) 的上界则 \(\beta\geq \beta_0\) ，则 \(\beta_0\) 为上确界。记 \(\beta_0=\sup\{E\}\) 。

同理定义 \(\inf\{E\}\) 。

阿基米德倍越定理

\(\forall x,y\in R\) 满足 \(x>0\) ，存在唯一的整数 \(k\) ，使得 \((k-1)x\le y<kx\) ，或者 \((k-1)x<y\le kx\) 。

证明：取集合 \(E=\{n\in Z|n>\frac{y}{x}\}\) ，容易说明 \(E\) 非空，令 \(k\) 是 \(E\) 的最小数，则 \(k-1\le \frac{y}{x}<k\) 。

同理取 \(\{n\in Z|n\geq \frac{y}{x}\}\) ，可以找到 \(k-1<\frac{y}{x}\le k\) 。

一个较难例题

\(A=\{x\in Q|x<0\lor x^2<2\}\) ，\(B=\{x\in Q|x>0\land x^2>2\}\) ，证明 \(A\) 没有上确界，\(B\) 没有下确界。

注意到 \(A\cup B=Q\) 且 \(A\cap B=\empty\) 。

先证明 \(A\) 无最大数：若 \(x\le 0\) ，显然不是最大数。若 \(x\geq 0\) ，尝试找到 \(\theta>0\) 使得 \(x_1=x+\theta(2-x^2)\) 且 \(x_1^2<2\) 。

取 \(\theta=\frac{1}{2x}\) ，则 \(x_1=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}\) 。则 \(x_1^2=1+\frac{x^2}{4}+\frac{1}{x^2}<2\) 。显然 \(x_1\in A\) 。这说明 \(x\) 不是最大值。

同理 \(B\) 无最小数。

接下来反证：若 \(A\) 有上确界 \(\sup A\) ，因为 \(A\) 没有最大值，所以 \(\sup A \in B\) 。 \(\forall x\in B\) ，如果 \(x<\sup A\) ，则存在 \(a\in A\) 使得 \(x<a\) 。矛盾！

这说明 \(\sup A\) 是 \(B\) 的最小值。但这也和之前的结论矛盾了。

上下确界性质

一个全序集 \(F\) ，任意 \(E\subseteq F\) 都满足：若 \(E\) 有上界，则 \(E\) 有上确界。则称 \(F\) 具有上确界性质。同理定义下确界性质。

可以证明：若具有上确界性质，则必有下确界性质。反之亦然。

于是我们统称为 有确界性质

怎么证呢？若 \(F\) 具有上确界性质且 \(E\) 具有下界，令 \(E_0\) 是 \(E\) 的下界构成的集合。那么 \(E_0\) 显然有上界：\(E\) 中每一个元素都是 \(E_0\) 的上界。

令 \(a=\sup \{E_0\}\) ，接下来说明 \(a=\inf\{E\}\) 。我们首先证明 \(a\) 是 \(E\) 的下界，也就是 \(a\in E_0\) 。

考虑 \(\forall t\in E\) ，\(t\) 都是 \(E_0\) 的上界。由于 \(a=\sup\{E_0\}\) ，即可说明 \(\forall x\in E,x\geq a\) 。则有 \(a\) 为 \(E\) 的下界。

那 \(a=\sup\{E_0\}\) 又说明：\(\forall t\in F\) 满足 \(t\) 是 \(E\) 的下界，有 \(t\in E_0\) ，则 \(t\le a\) 。于是可证 \(a=\sup\{E_0\}\)

两次数学危机

第一，存在非有理数。

\(a=\sqrt{2}\) 不是有理数。

证明：假设 \(a\in Q\) ，则 \(\exists{p,q}\in N\) 使得 \(a=\frac{p}{q},(p,q)=1\)

那么 \(p^2=2q^2\) 。于是 \(2|p\)，令 \(p=2k\) ，则 \(2k^2=q^2\) 。那么 \(2|q\)。

这与 \((p,q)=1\) 矛盾

第二，数的无限可分性。

比如 \(1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots\)

定义实数集

戴德金分割：

满足以下条件的 \(Q\) 的子集 \(A\) 被称为戴德金分割：

1. \(A\neq \empty,A\neq Q\)

2. 若 \(q\in Q\) 且存在 \(p\in A\) 使得 \(q<p\) ，则 \(q\in A\)

3. \(p\in A\rightarrow\) 存在 \(q\in A\) ，使得 \(p<q\)

设所有戴德金分割构成了集合 \(R\) 。

定义序：\(A<B\leftrightarrow A\subsetneq B\)

可以证明这是全序集。接下来证明它具有确界性质：

对于 \(R'\subseteq R\) ，令 \(B\) 是 \(R'\) 的一个上界，令 \(P=\bigcup\limits_{A\in R'}A\) 。可以证明 \(P\in R\) 且 \(P=\sup\{R'\}\)

加法的定义：\(A+B=\{a+b|a\in A,b\in B\}\)

结合律，交换律，封闭性都显然。

零元：\(0_R=\{x\in Q|x<0\}\)

\(A\) 的负元，即找到 \(B\) 使得 \(A+B=0_R\)

\(-A=\{b\in Q|\exists r\in Q,r>0,\text{s.t.} -b-r\notin A\}\)

乘法的定义：

令 \(R^{+}=\{A\in R|A>0_R\}\) ，我们先在 \(R^{+}\) 上定义乘法。

\(AB=\{p\in Q|\exists r\in A,r>0且 \exists s\in B,s>0,使得p=rs\}\)

令 \(1^{*}=\{x\in Q|x<1\}\) 为单位元。

定义 \(A\) 的逆元：

\(B=\{p\in Q|\exists \epsilon_p>0,\text{s.t.}p<\frac{1}{r}-\epsilon_{p},\forall 0<r\in A\}\)

那么在 \(R\) 上，我们可以这样定义乘法：

对于 \(A<0_R,B<0_R,AB=(-A)(-B)\) 。其他同理。

一些基本函数和极简集合论

ohno，我没来上课。

例题：设 \(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的具有基本周期 \(r>0\) 的函数，证明：若 \(\forall x\in (0,r)\) 有 \(f(x)\neq f(0)\) ，则 \(g(x)=f(x^2)\) 不是周期函数。

证明：

假设 \(g(x)\) 是周期为 \(T\) 的函数，则 \(\forall x\in R,f(x^2)=f((x+T)^2)\) 。

那么 \(f(0)=f(T^2)\) 。又由 \(\forall x\in (0,r)\) 有 \(f(x)\neq f(0)\) 可知：\(T^2=kr\) ，\(k\in N^{+}\) 。

还有 \(f((\sqrt{(k+1)r}+T))^2=f((\sqrt{(k+1)r})^2)\) ，即 \(f((k+1)r)=f((\sqrt{(k+1)r}+\sqrt{kr})^2)=f(0)\) 。

则存在 \(n\in N+\) 使得 \(nr=(2k+1)r+2r\sqrt{k(k+1)}\) ，也就是 \(n=2k+1+2\sqrt{k(k+1)}\) 不可能为正整数，证毕。

数列

\(\N\rightarrow \R\) 的映射。(由数排成的有头无尾的一列称为一个数列)例子：\(x_n=\frac{1}{n},\forall n\in \N\) 。

\(\{x_n\}\) 的极限定义如下。

\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a\) ：\(\forall \epsilon >0,\exists N\in \N\) 使得 \(\forall n>N,|x_n-a|<\epsilon\)

邻域：

\(U(x_0,\delta)=\{x\in \R||x-x_0|<\delta\}\)

把 \(\{x_n\}\) 撒在数轴上，则： \(a\) 的任意邻域外含有限个点。

我们也可以把极限记作 \(x_n\rightarrow a (n\rightarrow \infty)\)

如果存在极限，则称序列是收敛的，否则是发散的。

\(x_n\) 发散：\(\forall a\in \R,\exists \epsilon_0>0\) 满足：\(\forall N\in \N,\exists n_0>N\) 使得 \(|x_{n_0}-a|>\epsilon_0\)

无穷小量 ：极限为 \(0\) 的数列称为一个无穷小量，记为 \(x_n=o(1)(n\to \infty)\)

若 \(x_n\) 有界，则记为 \(x_n=O(1)(n\to \infty)\)

无穷大量

\(\forall M>0,\exists N\in \N\) 使得 \(x_n>|M|\forall n>N\) ， 则称 \(x_n\) 为一个无穷大量，记为 \(\lim_{n\to\infty}x_n=\infty\) 。

性质：设 \(x_n\neq 0\forall n\in \N\) ,，则 \(x_n\) 是无穷小量 \(\leftrightarrow\) \(\frac{1}{x_n}\) 是无穷大量

例题：设 \(x_n=1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}\) ，则 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\infty\) 。

考虑最大的 \(k\in \N\) 使得 \(n>2^k\) ，那可以放缩成 \(x_n>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots\geq \frac{k}{2}\)

这样对于 \(M>0\) ，取 \(N=c*2^M\) 即可

如何计算数列极限？

保序性

若数列 \(x_n,y_n\) 满足 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b\) 。

(1) \(a<b\to\) \(\forall c\in (a,b),\exists N_0\in \N\) 使得 \(x_n<c<y_n\forall n>N_0\)

(2) \(\exists N_0\in \N\) 使得 \(x_n\le y_n\forall n>N_0\) ,则 \(a\le b\) 。

保号性

若 \(a>0\) ，则 \(\forall c\in (0,a),\exists N_c\in \N\) 使得 \(x_n>c>0\forall n>N_c\)

极限四则运算

\(\lim\limits_{x\to\infty}(x_n+y_n)=a+b,\lim\limits_{x\to\infty}(x_ny_n)=ab\)

哦，这里有一个事情，两个多项式相除的 lim 可以直接写出来

夹逼原理

设数列 \(x_n,y_n,z_n\) 满足 \(\forall n\in\N,x_n\le y_n\le z_n\) 。则如果 \(\lim\limits_{n\to \infty}x_n=\lim\limits_{n\to \infty}z_n=a\) ，则 \(\lim\limits_{n\to \infty} y_n=a\) 。

：计算 \(\lim\limits_{n\to \infty} \frac{\sin n}{n}\) 。发现 \(0<|\frac{\sin n}{n}|<\frac{1}{n}\)

例：计算 \(\lim\limits_{n\to \infty} n(\frac{1}{n^2+\pi}+\dots +\frac{1}{n^2+n\pi})\) 。

考虑 \(n*\frac{n}{n^2+n\pi}\le n(\frac{1}{n^2+\pi}+\dots +\frac{1}{n^2+n\pi})\le n*\frac{n}{n^2}\) ，显然两边的极限都是 \(1\) 。

例：计算 \(\lim_{n\to \infty}na^n(0<a<1)\)

考虑 \((a^{-1})^n=(a^{-1}-1+1)^n\geq \frac{n^2}{4}(a^{-1}-1)^2\) ，于是 \(a^n\le \frac{4}{n^2(a^{-1}-1)^2}\) ，结束了

（二项式展开 trick）

Cauchy 命题

若 \(\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a,\) 则 \(\lim_{n\to \infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=a\) ，其中 \(a\) 可以是 \(+\infty,-\infty\)

一个例题： 设 \(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)=a,则 \lim\limits_{x\to \infty}\frac{x_n}{n}=0\)

可以考虑 \(x_n=\frac{t_{n+1}(n+1)-t_nn}{n}=t_{n+1}-t_{n}+\frac{t_{n+1}}{n}\)

显然 \(\frac{t_{n+1}}{n}\to 0\) ，\(t_{n+1}-t_n\to 0\)

一个例题：\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n x_k=l\) 且 \(\lim\limits_{n\to \infty}n(x_n-x_{n-1})=0\) ，证明 \(\lim\limits_{n\to \infty}x_n=l\)

考虑对 \(n(x_n-x_{n-1})\) 做前缀和，利用 Cauchy 命题。\(\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n k (x_k-x_{k-1})\) 整理可得 \(x_n-\frac{\sum\limits_{k=1}^{n-1}x_k}{n}-\frac{x_0}{n}\)

到这里，\(\frac{\sum\limits_{k=1}^{n-1}x_k}{n}\to 0\) ，显然 \(\frac{x_0}{n}\to 0\) ，所以 \(x_n\to l\) ，证完了。

Stolz 定理

\(\frac{0}{0}\) 型

设 \(\{b_n\}\) 是严格单调下降序列，\(a_n\to 0,b_n\to 0\) ，且 \(L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\) ，则 \(L=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}\)

\(\frac{*}{\infty}\) 型

设 \(\{b_n\}\) 是严格递增且趋于 \(+\infty\) 的数列，\(L=\lim_{n\to \infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\) ，则 \(L=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}\)

（可以发现 Cauchy 命题其实是个特殊情况）

例题：\(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n-x_{n-1})=l\) ，证明 \(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{x_n}{n}=l\)

stolz 秒了。

例题：计算 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^n (\frac{j}{n})^k\)

考虑化成 \(\frac{\sum\limits_{j=1}^n j^k}{n^{k+1}}\) ，根据 Stolz 定理，设法求 \(\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}\) 的极限即可。

把分母化成 \(\sum\limits_{j\le k}n^j(n+1)^{k-j}\) 。于是整个式子化成 \(\frac{1}{\sum\limits_{j\le k}(\frac{n}{n+1})^j}\) ，它的极限自然是 \(\frac{1}{k+1}\) 。

例题：

设 \(k\in\N,\lim\limits_{n\to \infty}a_n=l\) ，求 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{j=1}^n j^ka_j}{n^{k+1}}=\frac{l}{k+1}\)

根据 stolz，求 \(\frac{n^ka_n}{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}}\) 。化成 \(\frac{a_n}{\sum\limits_{j\le k}(\frac{n-1}{n})^j}\) 。分子分母极限都显然，做完了。

例题：

\(2x_{n+1}-x_n\) 收敛到 \(a\) ，求 \(x_n\) 极限

考虑 \(x_n=\frac{2^nx^n}{2^n}\) ，对着这个上下差分就有 \(\frac{2^{n+1}x_{n+1}-2^nx_n}{2^{n+1}-2^n}=2x_{n+1}-x_n\) ，结束了

\(2x_{n+1}+x_n\) 收敛到 \(a\) ，求 \(x_n\) 极限

发现没法直接套用，因为 \((-2)^n\) 不是单调递增的。

一个想法是如果 \(a=0\) ，那直接令 \(y_n=(-1)^nx_n\) 就好了

现在直接考虑 \(b_n=x_n-\frac{a}{3}\) ，那么 \(2b_{n+1}+b_n\) 收敛到 \(0\) ，做完了，所以 \(x_n\) 极限是 \(\frac{a}{3}\)

单调收敛原理

单调上升有上界的序列收敛，单调下降有下界的序列收敛，即单调有界序列收敛

小数表示

为什么 \(x\in \R\) 可以表示成小数？

我们先计算整数部分 \(x_0\) ，然后乘 \(10\) 取整得到 \(x_1\)，乘 \(10\) 取整得到 \(x_2\)，以此类推，构造出序列 \(\{x_n\}\) 为 \(x_0.x_1x_2x_3\dots\)

令 \(y_n=\sum\limits_{i=0}^n 10^{-i}x_i\) ，则 \(y_n\) 是单调上升且有上界的，所以它有极限。

而且 \(0<x-y_n<10^{-n}\) ，所以由夹逼原理，\(y_n\) 的极限就是 \(x\) 。

怎么证 \(0.\dot{9}=1\) ？

首先要明白什么是 \(0.\dot{9}\) ，中学阶段我们都没法说明它是否收敛。我们应该令 \(x_n=0.999\dots9\) （\(n\) 个 \(9\)），称 \(0.\dot9\) 是这个数列的极限。

这样才是有道理的。

不难得到任意无限循环小数都是有理数。

再证明任意有理数都是无限循环小数/有限小数。

对于有理数 \(0<\frac{q}{p}<1\) 满足 \((p,q)=1\) ，首先 \(p=10^k\) 就结束了

如果 \(p\neq 10^k\) ，只需要说明 \(\frac{1}{p}\) 能表示成 \(\frac{z}{10^k(10^t-1)}\) 即可。也就是说要找到 \(z\in \N\) 使得 \(pz=10^k(10^t-1)=(10^{k+t}-1)-(10^k-1)\)

令 \(a_n=(10^{n}-1)\bmod p\) ，用抽屉原理即可知前 \(p+1\) 个数有两个位置满足 \(a_i=a_j\) ，那就有 \(p|(10^j-1)-(10^i-1)\) ，这就做完了

证明：\([0,1]\) 中的实数不是可数的。

假设是可数的，则列成 \(x_0,x_1,\dots,x_n,\dots\)

设 \(x_{i,j}\) 是 \(x_i\) 小数表示的第 \(j\) 位，构造 \(y\) 满足它小数表示的第 \(i\) 位是任意一个不等于 \(x_{i,i}\) 的数，那 \(y\) 不在 \(\{x_n\}\) 中，矛盾！

所以是不可数的

实数的无理度

(1)对任意有理数 \(x\) ，存在无穷多个 \(\frac{q}{p}\) 使得 \(|x-\frac{q}{p}|\le \frac{1}{p}\)

令 \(x=\frac{s}{t}\) ，那考察 \(\frac{ns-1}{nt}\) ，显然满足要求

(2)对任意无理数 \(x\) ，\(\forall n\in\N\) ，存在 \(p,q\) 满足 \(p,q\in \Z\) 且 \(1\le p\le n\) ，且 \(|px-q|\le \frac{1}{n}\)

证明：令 \(a_p=px-[px]\) ，考察 \(a_1,a_2,\dots,a_{n+1}\) ，首先这个数列两两不等，否则 \(x\) 就不是无理数了。

根据抽屉原理必有 \(i\neq j\) 满足 \(|a_j-a_i|\le \frac{1}{n}\) ，于是令 \(p=j-i,q=([jx]-[ix])\) ，自然就找到 \(|px-q|\le \frac{1}{n}\) 了

(3)对任意无理数 \(x\) ，存在无穷多个 \(\frac{q}{p}\) 使得 \(|x-\frac{q}{p}|\le \frac{1}{p^2}\)

用 (2) 问结论证一证就好了。

(4)对实数 \(x\) ，若存在一列 \((q_k,p_k)\in \N×\Z\) 满足 \((p_k,q_k)=1,p_k\to+\infty\) ，\(|x-\frac{q_k}{p_k}|=o(\frac{1}{p_k})(k\to\infty)\) ，则 \(x\notin Q\)

反证，假设 \(x=\frac{q}{p}\) ，那么 \(|qp_k-q_kp|=o(p)=o(1)(k\to\infty)\) ，然而前者是整数，所以存在 \(C\) 使得 \(k>C\) 时都有 \(qp_k=q_kp\) 。那此时 \(p_k\) 就固定了，和 \(p_k\to\infty\) 矛盾！

观察 (1)(3) ，发现如果存在无穷多个 \(\frac{p}{q}\) 满足 \(0<|x-\frac{p}{q}|\le \frac{1}{q^{a}}\) ，那么 \(a\) 就阐释了 \(x\) 有多“无理”。

对一个 \(x\) ，我们称满足这个条件最大的 \(a\) 是 \(x\) 的无理度。显然有理数的无理度=1，无理数的无理度 \(\geq 2\) 。

定义Liouville数 ：\(\forall n\in\N\) ，存在 \(p,q\) 满足 \(p,q\in \Z\) 满足 \(p>1\) 且 \(0<|x-\frac{q}{p}|\le \frac{1}{p^n}\) ，则称 \(x\) 为 Liouville 数。

容易证明 Liouville数的无理度为无穷大。

那么 Liouville数 是否存在？构造 \(x_k=\sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k}{10^{k!}}\) ，其中 \(\forall k\in Z,a_k\in \{1,2,\dots,9\}\) ，定义 \(x\) 是这个数列的极限，则 \(x\) 是 Liouville 数。

证明很简单，发现 \(x_n\) 就满足 \(x-x_n\le \frac{1}{(10^{n!})^n}\) ，而 \(x_n\) 形如 \(\frac{q}{10^{n!}}\) 。

Liouville 定理 令 \(P(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k\) 为整系数多项式，且无理数 \(x_0\) 是 \(P(x)\) 的根，则有：

\(\exists A>0\) 使得 \(|x_0-\frac{q}{p}|>\frac{A}{p^n}\) \(\forall p\in \N,q\in \Z\)

无理数 \(e\) 和 Euler 常数 \(C\)

考察 \(x_n=(1+\frac{1}{n})^n,y_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)

可以证明 \(x\) 单调递增，\(y\) 单调递减，且一直有 \(x_n<y_n\)

那么 \(x\) 有上界 \(y_1\) ，\(y\) 有下界 \(x_1\) ，这说明二者都存在极限，且它们极限相等。（相等的原因是 \(y_n=x_n(1+\frac{1}{n})\) ，而 \(1+\frac{1}{n}\to 1\)）

但我们似乎没法用之前所学表示这个数？

\(e=\lim\limits_{n\to \infty}(1+\frac{1}{n})^n\)

令 \(x_n=\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i}-\ln n\) ，\(x_n\) 也有极限我们记为 \(c\) ，约为 \(0.5772\) 。

所以我们可以记住两个公式：\(\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k}=\ln n+c +\alpha_n\)

以及 \((1+\frac{1}{k})^k<e<(1+\frac{1}{k})^{k+1}\)

另一个公式：\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{^n\sqrt{n!}}=e\) 进一步推导可得斯特林公式

实数系连续性的基本定理

内点 设集合 \(A\subset \R,x\in \R\) ，若 \(\exists \delta >0\) 使得 \((x-\delta,x+\delta)\sub A\) ，则 \(x\) 为 \(A\) 的内点

边界点 \(\forall \delta >0\) ，\((x-\delta,x+\delta)\cap A\neq \varnothing\) 且 \((x-\delta,x+\delta)\not\subset A\)

孤立点 \(x\in A\) 且 \(\exists \delta >0,(x-\delta,x+\delta)\cap A=\{x\}\)

外点 \(\exists \delta >0,(x-\delta,x+\delta)\cap A=\varnothing\)

开集 \(A\) 中的所有点都是内点

闭集 \(A\) 中的所有边界点都属于 \(A\)

如果 \(A\subset \R\) 是闭集，则 \(\R-A\) 是开集，反之亦然。

有限个开集的交集是开集，任意多个开集的并集是开集

闭区间套定理

设 \([a_n,b_n]_{n=1}^{\infty}\) 是一系列闭区间满足 \([a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]\) ，且 \(b_n-a_n\to 0\) ，则存在唯一的 \(c\in \R\) 使得 \(\{c\}=\bigcap\limits_{n=1}^\infty [a_n,b_n]\)

一个有趣的例题：\(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内有定义且 \(\forall x\in (a,b)\) \(\exists p\) 使得 \(\forall x'\in (x-p,x),f(x')<f(x)\) ，\(\forall x'\in (x,x+p),f(x)<f(x')\) 。证明 \(f\) 单调递增

考虑反证，假设 \(f(a)\geq f(b)\) ，然后取 \(\frac{a+b}{2}\) ，发现要么 \(f(a)\geq f(\frac{a+b}{2})\) 要么 \(f(\frac{a+b}{2})\geq f(b)\) ，所以可以这样子二分下去，最后就构造出了闭区间套！设 \(c\) 是那个唯一的被所有区间包含的数，则存在一个以 \(c\) 为中心的邻域满足左低右高，那我们构造的所有闭区间都应当包含这个领域，矛盾！

另一个有趣的例题：证明 \(\R\) 不可数。

反证，假设可数，设 \(\R=\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\) 。任取闭区间满足 \(x_1\notin [a_1,b_1]\) 。容易通过二分构造 \(x_2\notin [a_2,b_2]\) 且 \(2(b_2-a_2)\le b_1-a_1\) 这样就造出了闭区间套，设 \(c\) 是那个唯一的数，则 \(c\neq x_1,c\neq x_2,\dots\) ，即 \(c\notin \R\) ，矛盾！

引理：\(R\) 中两两互不相交的开区间全体至多可数。

这是显然的，因为 \(Q\) 可数，每个开区间都包含一个有理数

引理：\(\R\) 中任何开集都是至多可数个互不相交的开区间的并

感性理解：每个点都是闭点，那开集其实就能看成一堆邻域并起来。两个相交的开区间可以合并成新的开区间，直到两两不交

有限覆盖定理

开覆盖：用若干开集覆盖一个集合。

有限覆盖定理：设 \([a,b]\) 是一个闭区间, \(\{E_λ\}\)是 \([a,b]\) 的一个开覆盖（每一个 \(E_λ\) 都是一个开区间）,
则必存在 \(E_λ\) 的一个有限子集构成 \([a,b]\) 的一个有限开覆盖.

推论：把 \([a,b]\) 替换成一个有界闭集，定理仍然成立

例：若 \(f(x)\) 定义于 \([a,b]\) 且 \(\forall x\in [a,b],\exists \delta_x>0,M_x>0\) 使得 \(\forall y\in (x-\delta_x,x+\delta_x)\cap [a,b],|f(y)|\le M_x\) 。则 \(f(x)\) 有界。

证明考虑所有 \((x-\delta_x,x+\delta_x)\) 构成了开覆盖，于是存在有限开覆盖，把这有限个 \(M_x\) 取 max 即可。

例：若 \([a,b]\) 存在开覆盖，则 \(\exists \delta >0\) ，使得 \(\forall [x,y]\subset [a,b]\) ，若 \(y-x<\delta\) ，则存在 \(E_{0}\in \{E_λ\}\) 使得 \([x,y]\subset E_0\) 。于是定义 Lebesgue数：设 \(\min(1,\frac{\sup \delta}{b-a})\) 为区间 \([a,b]\) 的这组开覆盖的 Lebesgue 数。

聚点原理

设 \(U_0(x,\delta)=(x-\delta,x)\cup (x,x+\delta)\) ，则称 \(x_0\) 是 \(E\) 的一个聚点当且仅当 \(\forall \delta>0,U_0(x,\delta)\cap E\neq \varnothing\)

\(x_0\) 是 \(E\) 的聚点 \(\leftrightarrow\) \(\forall \delta>0,U(x_0,\delta)\) 中有无限个 \(E\) 的元素 \(\leftrightarrow\) \(\exists\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subset E,x_i\neq x_j(i\neq j)\) ，使得 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0\)

闭包 ：\(E\) 的孤立点和聚点并起来构成 \(E\) 的闭包。我们记为 \(\overline{E}\) 。

稠密 ：若 \(E\subset F \subset \R\) 满足 \(\forall x\in F,\forall \epsilon>0,\exists y\in E\) 使得 \(y\in U_0(x,\epsilon)\) ，则 \(E\) 在 \(F\) 中稠密。

等价条件： \(E\subset F\subset \overline{E}\) 。也等价于 \(F\) 中的点全是 \(E\) 的聚点。

聚点原理 \(\R\) 中任何有界无穷集 \(E\) 至少有一个聚点

子列极限

定理：若数列 \(\{x_n\}\) 有极限 \(a\) ，则 \(\{x_n\}\) 的任何子列极限均为 \(a\) 。

定理： \(x_{2k}\to a\) 且 \(x_{2k+1}\to a\) ，则 \(x_k\to a\) 。

例：证明 \((-1)^n\) 发散。考虑反证，假设 \((-1)^n\to a\) ，则 \((-1)^{2n}\to a\) 和 \((-1)^{2n+1}\to a\) ，矛盾

定理：单调数列收敛当且仅当其某一个子列收敛

定理：若 \(x\) 的两个子列下标的并为 \(\N\) ，且两个子列的极限都等于 \(a\) ，则 \(x_n\to a\) 。

定理：[Bolzano-Weierstrauss 定理] 任何有界数列必有收敛子列。（证明：考察聚点即可）

Cauchy 收敛准则

\(\{x_n\}\) 是 Cauchy 列，当且仅当 \(\forall \epsilon>0\exists N\in\N\) 使得 \(\forall n,m>N,|x_n-x_m|<\epsilon\) 。

定理：[Cauchy收敛准则] \(\{x_n\}\) 收敛 \(\leftrightarrow\) \(\{x_n\}\) 是一个 Cauchy 列。

完备 如果一个集合的任意 Cauchy 列都在此集合内有极限，则此集合完备。

比如 \(\R\) 完备，\(\text{Q}\) 不完备。

序列的上下极限

对于有界数列 \(x_n\) ，设 \(l_n=\inf \{x_n,x_{n+1},\dots\},h_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\dots\}\) 。发现 \(l_n\le h_1,h_n\geq l_1\) ，于是二者都单调有界，所以收敛。

设 \(l_n\to l,h_n\to h\) ， 则 \(l,h\) 被称为 \(x\) 的下极限，上极限，记作 \(\overline{\lim}_{n\to\infty} x_n=h,\underline{\lim}_{n\to\infty} x_n=l\)

对于无界数列能类似的定义。

定理： \(x_n\) 上极限是 \(h\) \(\leftrightarrow \begin{cases}\forall 收敛子列\quad\lim\le h\\ \exists 子列\quad \lim=h\end{cases}\)

定理：若 \(x_n\) 有界且不存在常值子列，则它的上极限是它的最大聚点，下极限同理。

定理：\(x_n\to a\) ，则其上下极限皆为 \(a\)

定理：\(\overline{\lim} (a_n+b_n)\le \overline{\lim} (a_n)+\overline{\lim} (b_n)\)

其他定理都比较类似，这里就不一一说明了

[上下极限的Stolz定理1] 设 \(y_n\to+\infty\) 且严格上升，则

\(\underline\lim{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}}\le \underline\lim \frac{x_n}{y_n}\le \overline\lim \frac{x_n}{y_n}\le \overline\lim \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\)

[上下极限的Stolz定理2] 设 \(y_n\to 0\) 且 \(x_n\to 0\) 且 \(y_n\) 严格单调下降，则

\(\underline\lim{\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}}\le \underline\lim \frac{x_n}{y_n}\le \overline\lim \frac{x_n}{y_n}\le \overline\lim \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\)

利用上下极限，我们可以干一些有趣的事。

比如说设 \(\{x_n\}\) 和 \(\alpha>1\) 满足 \(y_n=x_n+\alpha x_{n+1}\) ，证 \(y_n\) 收敛 \(\to\) \(x_n\) 收敛。

先利用求解递推证明 \(x_n\) 有界，然后设 \(x_n\) 的上下极限为 \(l,r\) 而 \(y_n\to b\) ，有 \(x_{n+1}=\frac{y_n-x_n}{\alpha}\) ，两边取上极限有 \(r=\frac{b-l}{\alpha}\) ，同理 \(l=\frac{b-r}{\alpha}\) ，自然就有 \(l=r\) 了。

注意这里用到了 \(\overline{\lim} (a_n+b_n)= \lim (a_n)+\overline{\lim} (b_n)\)

函数

函数极限基础

基本定义

若 \(f(x)\) 在 \((a,+\infty)\) 有定义 ，若常数 \(A\) 满足 \(\forall \epsilon>0,\exists X>0\) 使得 \(\forall x>X,|f(x)-A|<\epsilon\) ，则 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\) 。

同理可以定义 \(x\to -\infty,x\to \infty\) 。

若 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 某空心邻域有定义，若常数 \(A\) 满足 \(\forall \epsilon>0,\exists X>0\) 使得 \(\forall x\in \mathring{U}(x_0,X),|f(x)-A|<\epsilon\) ，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\) 。

若 \(f(x)\) 在 \((x_0,b)\) 有定义，若常数 \(A\) 满足 \(\forall \epsilon>0,\exists X>0\) 使得 \(\forall x\in (x_0,x_0+X),|f(x)-A|<\epsilon\) ，则 \(\lim\limits_{x\to x_0+}f(x)=A\) ，也可以记作 \(f(x_0^{+})=A\) 。

同理定义 \(f(x_0^{-})\) 。

基本性质

有界性定理，单调收敛定理，保序保号，夹逼，四则运算仍然成立。

定理：类似子列极限=数列极限，我们有 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A\Leftrightarrow\) 对于任意无穷数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_n\to x_0\) 且 \(x_n\neq x_0\) ，有 \(\lim\limits_{n\to+\infty} f(x_n)=A\) 。

函数上的 Cauchy 准则： \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 存在 \(\Leftrightarrow \forall \epsilon>0\exists \delta >0\) 使得 \(|f(x')-f(x'')|<\epsilon,\forall x',x''\in \mathring{U}(x_0,\delta)\)

我们同理可以定义函数上的上下极限。比如说考虑对于 \(\mathring{U}(x_0,\delta_0)\) 上定义的有界函数 \(f\) ，设 \(h(x)\) 是 \(\mathring{U}(x_0,|x-x_0|)\) 上的 sup，\(l(x)\) 是相应的 inf。那么下极限就是 \(\lim\limits_{x\to x_0}l(x)\) ，上极限是 \(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)\)

复合函数极限：\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0,\lim\limits_{x\to u_0}f(x)=A\) ，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(g(x))=A\) 。

推论：\(\lim\limits_{x}g(x)=A\) ，则 \(\lim\limits_{x}\ln g(x)=\ln A\) 。对于 \(e^x,\sin x\) 以及 \(x^n\) 有类似结论。

特殊极限：\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1\) 。

推论：\(\lim\limits_{x} u(x)=0\) 且 \(u(x)\neq 0\) ，则 \(\lim\limits_{x}\frac{\sin u(x)}{u(x)}=1\)

我们来做一个题：求 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\) 。考虑 \(1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}\) ，于是 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{2\sin ^2 \frac{x}{2}}{x^2}=2(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin \frac{x}{2}}{x})^2=\frac{1}{2}\)

特殊极限 2：\(\lim\limits_{x\to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x=e}\) 。

推论：\(\lim\limits_{x\to 0} (1+x)^{1/x}=e\) 。若 \(\lim\limits_{x}u(x)=0,u(x)\neq 0\) ，则 \(\lim\limits_{x}(1+u(x))^{1/u(x)}=e\) 。

推论：\(\lim\limits_{x}u(x)=A>0,\lim\limits_{x} v(x)=B\) ，则 \(\lim\limits_{x}u(x)^v(x)=A^B\) 。若 \(A\neq 1\) ，则 \(B=+\infty,-\infty\) 时结论也成立

无穷大量，无穷小量，有界量

绝对值趋于 \(+\infty\) 被称为无穷大量。

\(O(1),(x\to **)\) 表示一个极限过程中的有界量。

\(o(1),(x\to **)\) 表示无穷小量，即趋于 \(0\) 。

有限个 \(o(1)\) 相加/相乘还是 \(o(1)\) 。\(O(1)o(1)=o(1)\) 。

设某极限过程中 \(f(x)=o(1)\) 且 \(|g(x)|\) 有正下界，则 \(\frac{f(x)}{g(x)}=o(1)\) 。

无穷小量间也有区别。

若 \(f(x),g(x)\) 是某极限过程中的无穷小量，但 \(\lim\limits_{x}\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq 0\) ，则 \(f(x),g(x)\) 为同阶无穷小。如果 \(A=1\) ，则称 \(f(x),g(x)\) 是等价无穷小，记为 \(f(x)\sim g(x)(x\to **)\) 。

若 \(A=0\) ，则称 \(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的高阶无穷小，记作 \(f(x)=o(g(x))\) 。

若某极限过程中 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 是有界量，则记 \(f(x)=O(g(x))\)

如果 \(\lim\limits_{x}\frac{f(x)}{g(x)^k}\neq 0\) ，则 \(f(x)\) 是 \(g(x)\) 的 \(k\) 阶无穷小。

无穷小量会满足一些四则运算，比如 \(o(x^\alpha)=x^{\alpha}o(1)\)

一个例子：我们可以证明某极限过程 \(\lim f(x)=A,\lim g(x)=B\) ，则 \(\lim f(x)g(x)=AB\) 。考虑 \(f(x)g(x)=(A+f'(x))(B+g'(x))=AB+o(1)\) ，因为 \(f',g'\) 都是无穷小量，这就做完了。

无穷小代换： 某极限过程中无穷小量，\(f\sim g\) ，则 \(\lim fh=\lim gh\) 。商同理

例：\(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x \ln (1+x)}{2x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x\cdot x}{2x^2}=\frac{1}{2}\)

注：不能用于加减法。比如 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}\neq \lim\limits_{x\to 0} \frac{x-x}{x^3}\)

常用的等价无穷小：\(x\to 0\) 时 \(x\sim \sin x,x\sim \tan x,x\sim \arcsin x,x\sim \arctan x,x\sim \ln (1+x),x\sim e^x-1,(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x\)

函数连续性

若 \(f\) 在 \(x_0\) 某实心邻域有定义，且 \(x-x_0\to 0\Rightarrow f(x)-f(x_0)\to 0\) ，那么 \(f(x)\) 在 \(x=x_0\) 连续

可以记作 \(\lim\limits_{\Delta x\to 0}\Delta y=0\)

若 \(f\) 在 \(x_0\) 某空心领域有定义，若满足以下三者之一，则 \(x_0\) 为间断点

(1) \(f(x_0)\) 不存在 (2) \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 不存在 (3) \(f(x)\) 和 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) 都存在但不相等

若左右极限都存在，则称为第一类间断点，否则称为第二类间断点

例：\(D(x)=[x\in \mathbb{Q}]\) 处处间断。因为它处处无极限

若 \(\lim\limits_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)\) ，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 右连续 。左连续同理

若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有定义且 \(\forall x\in (a,b)\) ，\(f(x)\) 在点 \(x\) 连续，则 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内连续，记作 \(f(x)\in C(a,b)\) 。

若同时还满足 \(a\) 处右连续，\(b\) 处左连续，则 \(f(x)\in C[a,b]\) 。

连续函数运算

若在某点 \(x\) 有 \(f,g\) 连续，则两函数做加减乘除后仍连续

若 \(g\) 在 \(x_0\) 连续，\(f\) 在 \(g(x_0)\) 连续，则 \(f(g(x))\) 在 \(x_0\) 连续

初等函数在定义域内连续

设 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 单调，则在 \((a,b)\) 内只可能有第一类间断点

设 \(w_f(x,\delta)=\sup\limits_{x',x''\in (x-\delta,x+\delta)}|f(x')-f(x'')|\) ，\(w_f(x)=\lim\limits_{\delta\to 0^{+}}w_f(x,\delta)\) ，称 \(w_f(x)\) 是 \(f(x)\) 的振幅函数。\(f(x)\) 在 \(x\) 连续等价于 \(w_f(x)=0\)

连续函数性质

闭区间连续函数性质

最值定理

对于 \(f(x)\in C[a,b]\) ，存在 \(x_1,x_2\in [a,b]\) 使得 \(f(x_1)=\max\limits_{x\in [a,b]}f(x),f(x_2)=\min\limits_{x\in [a,b]}f(x)\)

证明挺有趣的：我们设 \(M=\sup\limits_{x\in [a,b]}f(x)\) ，如果 \(M\) 不是最大值则 \(M\) 是 \(\{f(x)|x\in [a,b]\}\) 的聚点，那么存在数列 \(x_n\) 满足 \(x_n\in [a,b]\) 且 \(\lim\limits_{n\to+\infty}f(x_n)=M\) 。又由 \(x_n\) 有界，取出其收敛子列 \(y_n\) ，设 \(\lim\limits_{n\to+\infty}y_n=A\) 。由 \(f(x)\in C[a,b]\) 知 \(f(A)=M\) ，这和假设矛盾。

中介值定理

设 \(f(x)\in C[a,b],m=\min \limits_{x\in [a,b]}f(x),M=\max\limits_{x\in [a,b]}f(x)\) ，则 \(\forall d\in (m,M),\exists x\in (a,b)\) 使得 \(f(x)=d\)

中介值定理2

设 \(f(x)\in C[a,b]\) 且 \(f(a)<f(b)\) ，则 \(\forall d\in (f(a),f(b)),\exists x\in (a,b)\) 使得 \(f(x)=d\)

所以我们可以顺便得到零点定理是说，如果 \(f(a)f(b)\le 0\) ，则存在 \(c\in [a,b]\) 使得 \(f(c)=0\)

代数基本定理

任何 \(n\) 次实系数多项式, 都存在 \(n\) 个根（零点）（包括复根,重根按重数计算个数）。若有复根，则均是成对(共轭)出现。

反函数

若 \(f(x)\in C(I)\) 且存在 \(f^{-1}(x)\) ，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上严格单调

单调函数 \(f(x)\) 在 \(I\) 单调等价于 \(f(I)\) 是区间

连续函数若有反函数，则反函数连续

函数的一致连续

若 \(\forall \epsilon>0\exists \delta>0\) 使得 \(\forall x_1,x_2\in I,(|x_1-x_2|\in \delta)\Rightarrow (|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon)\) ，则 \(f(x)\) 在 \(I\) 上一致连续

例：\(f(x)=x\) 在 \((-\infty,\infty)\) 上一致连续。但 \(f(x)=x^2\) 不一致连续

一致连续的等价条件：\(\forall \{x_n\},\{y_n\}\in I,(\lim\limits_{n\to+\infty}(x_n-y_n)=0)\Rightarrow (\lim\limits_{n\to+\infty}(f(x_n)-f(y_n))=0)\)

Cantor定理 闭区间上的连续函数一致连续

证明比较有趣：对于 \(f\in C[a,b]\) ，\(\forall x\in [a,b]\) 根据 Cauchy 收敛准则我们设 \(\delta_x\) 表示 \(\forall x_1,x_2\in (x-\delta_x,x+\delta_x),|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\epsilon}{2}\) 。则 \(\bigcup\limits_{x\in [a,b]} U(x,\delta_x)\) 构成了 \([a,b]\) 的覆盖，取出其有限覆盖，我们记作 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 。

考虑令 \(\delta=\min\limits_{i=1}^n \delta_{x_i}\) ，则 \(\forall |x-y|<\delta\) ，一定能取出 \(x_1\) 所在区间 \(I_1\) 和 \(x_2\) 所在区间 \(I_2\) 满足存在 \(x_3\in I_1\cap I_2\) ，则 \(|f(x_1-x_2)|\le |f(x_3)-f(x_2)|+|f(x_3)-f(x_1)|<\epsilon\) 。