条件概率与全概率

样本空间

样本空间是一个随机试验所有可能结果组成的集合。

例如抛一枚硬币，那么样本空间就是集合｛正面，反面｝。
例如投一个骰子，那么样本空间就是集合｛1,2,3,4,5,6｝。

随机试验中的每个可能结果称为样本点或基本事件。样本空间又叫基本事件空间

如上图，假设有一个样本空间S，里面分别包括子样本空间A和子样本空间B，A∩B是两个样本空间的交集。

以样本空间S为参考对象
P(A) = P(A|S) = 样本空间A所含样本点数 / 样本空间S所含样本点数
P(B) = P(B|S) = 样本空间B所含样本点数 / 样本空间S所含样本点数
P(AB) = P(AB|S) = 样本空间A∩B所含样本点数 / 样本空间S所含样本点数

先说P(AB)，其中的AB即为A和B两个空间相交的部分A∩B，这部分也可以视为在B空间上A也出现了（或在A空间上B也出现了）
再看P(A|B)或P(B|A)，满足这个公式的前提是A和B一定有交集

P(A|B) 是以样本空间B为参考对象
P(A|B) = 样本空间B中出现A的样本点数 / 样本空间B所含样本点数 = P(AB) / P(B)
P(B|A) 是以样本空间A为参考对象
P(B|A) = 样本空间A中出现B的样本点数 / 样本空间A所含样本点数 = P(AB) / P(A)

因此，条件概率公式为：
P(A|B) = \(\frac{P(AB)}{P(B)}\) 或 P(B|A) = \(\frac{P(AB)}{P(A)}\)

全概率

如上图，假设样本空间A和样本空间A₁构成全集空间S，A和A₁没有交集。
样本空间B由样本空间A和样本空间A₁的一些样本点数所构成，此时样本空间B可以分为两部分B = AB + A₁B，即P(B) = P(AB) + P(A₁B)
由条件概率公式可得：P(AB) = P(B|A)P(A)；P(A₁B) = P(B|A₁)P(A₁)
因此：P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A₁)P(A₁)