母牛的故事

Description
　　有一头母牛，它每年年初生一头小母牛。每头小母牛从第四个年头开始，每年年初也生一头小母牛。请编程实现在第n年的时候，共有多少头母牛？
Input
　　输入数据由多个测试实例组成，每个测试实例占一行，包括一个整数n(0< n< 55)，n的含义如题目中描述。
　　n=0表示输入数据的结束，不做处理。
Output
　　对于每个测试实例，输出在第n年的时候母牛的数量。
　　每个输出占一行。
Sample Input
2
4
5
0
Sample Output
2
4
6

分析
　　根据题意，先列出前几年的牛头数，试着找找规律：

 

第n年：	n=1	n=2	n=3	n=4	n=5	n=6	n=7	n=8	n=9
fn头牛？	f1=1	f2=2	f3=3	f4=4	f5=6	f6=9	f7=13	f8=19	f9=28

　　在列出这个序列的过程中，应当能找出规律。

 

　　以n=6为例，fn=9头牛可以分解为6+3，其中6是上一年（第5年）的牛，3是新生的牛（因为第3年有3头牛，这3头在第6年各生一头牛）。
　　我们可以得出这样一个公式：f_n=f_n-1+f_n-3
　　再理解一下，f_n-1是前一年的牛，第n年仍然在，f_n-3是前三年那一年的牛，但换句话说也就是第n年具有生育能力的牛，也就是第n年能生下的小牛数。
　　编程序，求解这个公式就行了。
　　当然，第1-3年的数目，需要直接给出。
　　很像斐波那契数列，有不一样之处，道理、方法一样。其实，在编程之前，讲究先用这样的方式建模。

　　下面给出参考程序：

//解法1：迭代解法
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,i;
    int f1, f2, f3, fn;
    while(cin>>n&&n!=0)
    {
        //下面求第n年有几头牛
        f1=1;
        f2=2;
        f3=3;
        if(n==1)
            cout<<f1<<endl;
        else if(n==2)
            cout<<f2<<endl;
        else if(n==3)
            cout<<f3<<endl;
        else
        {
            for(i=4; i<=n; i++)
            {
                fn=f3+f1;
                f1=f2;  //f1代表前3年
                f2=f3;  //f2代表前2年
                f3=fn;  //f3代表前1年
            }
            cout<<fn<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

 

//解法2：定义递归函数（效率低，不建议用）
#include <iostream>
using namespace std;
int f(int n);
int main()
{
    int n;
    while(cin>>n&&n!=0)
    {
        cout<<f(n)<<endl;
    }
    return 0;
}


int f(int n)
{
    if(n<4)
        return n; //第1，2，3年，各为1，2，3头
    else
        return f(n-1)+f(n-3);  //第n年为前一年的和前3年的相加
}

//解法3：用数组
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,i;
    int f[56]={0,1,2,3};
    for(i=4;i<=55;i++)
        f[i]=f[i-1]+f[i-3];
    while(cin>>n&&n!=0)
    {
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}